Упр.758 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти область определения функции:
   1) $$y=\sin x+\cos x$$;
   2) $$y=\sin x+\operatorname{tg}x$$;
   3) $$y=\sqrt{\sin x}$$;
   4) $$y=\sqrt{\cos x}$$;
   5) $$y=\frac{2x}{2\sin x-1}$$;
   6) $$y=\frac{\cos x}{2\sin 2x-\sin x}$$.

1) $$y=\sin x+\cos x$$

Обе тригонометрические функции определены при всех действительных значениях $$x$$, значит

$$D(y)=\mathbb{R}.$$

2) $$y=\sin x+\tg x$$

Функция $$\tg x$$ не определена при

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Следовательно,

$$D(y)=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\right\}.$$

3) $$y=\sqrt{\sin x}$$

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$\sin x\ge 0.$$

Это выполняется при

$$2\pi n\le x\le \pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Значит,

$$D(y)=\{x\mid 2\pi n\le x\le \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\}.$$

4) $$y=\sqrt{\cos x}$$

Требуется, чтобы

$$\cos x\ge 0.$$

Отсюда

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Следовательно,

$$D(y)=\left\{x\mid -\frac{\pi}{2}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\right\}.$$

5) $$y=\frac{2x}{2\sin x-1}$$

Знаменатель не должен обращаться в нуль:

$$2\sin x-1\ne 0,$$

$$\sin x\ne \frac12.$$

Решения уравнения $$\sin x=\frac12$$ имеют вид

$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Значит,

$$D(y)=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\right\}.$$

6) $$y=\frac{\cos x}{2\sin^2 x-\sin x}$$

Знаменатель не должен быть равен нулю:

$$2\sin^2 x-\sin x\ne 0,$$

$$\sin x(2\sin x-1)\ne 0.$$

Отсюда получаем два ограничения:

$$\sin x\ne 0 \quad \Rightarrow \quad x\ne \pi n,\ n\in\mathbb{Z},$$

$$\sin x\ne \frac12 \quad \Rightarrow \quad x\ne \frac{\pi}{6}+2\pi n,\ \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$

Следовательно,

$$D(y)=\mathbb{R}\setminus\left(\{\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\}\cup\left\{\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\right\}\right).$$