Упр.756 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти область определения функции:

1. $$y=\arcsin\frac{x-3}{2}$$;
2. $$y=\arccos(2-3x)$$;
3. $$y=\arccos(2\sqrt{x})$$;
4. $$y=\arcsin\frac{2x-5}{3}$$.

1) Для функции $$y=\arcsin\frac{x-3}{2}$$ аргумент арксинуса должен удовлетворять условию

$$-1\le \frac{x-3}{2}\le 1.$$

Тогда

$$-2\le x-3\le 2,$$

$$1\le x\le 5.$$

Ответ: $$x\in[1;5].$$

2) Для функции $$y=\arccos(2-3x)$$ необходимо, чтобы

$$-1\le 2-3x\le 1.$$

Решаем двойное неравенство:

$$-3\le -3x\le -1,$$

$$\frac13\le x\le 1.$$

Ответ: $$x\in\left[\frac13;1\right].$$

3) Для функции $$y=\arccos(2\sqrt{x}-3)$$ должно выполняться

$$-1\le 2\sqrt{x}-3\le 1,$$

а также $$x\ge 0.$$

Из неравенства получаем:

$$2\le 2\sqrt{x}\le 4,$$

$$1\le \sqrt{x}\le 2,$$

$$1\le x\le 4.$$

Ответ: $$x\in[1;4].$$

4) Для функции $$y=\arcsin\frac{2x^2-5}{3}$$ имеем условие

$$-1\le \frac{2x^2-5}{3}\le 1.$$

Тогда

$$-3\le 2x^2-5\le 3,$$

$$2\le 2x^2\le 8,$$

$$1\le x^2\le 4.$$

Отсюда

$$-2\le x\le -1$$

или

$$1\le x\le 2.$$

Ответ: $$x\in[-2;-1]\cup[1;2].$$