Упр.755 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\operatorname{arctg}\left(\frac{1-x}{4}\right)=\frac{\pi}{3}$$
2. $$\operatorname{arctg}(2x+1)=-\frac{\pi}{3}$$
3. $$\operatorname{arctg}\left(\frac{1+2x}{3}\right)=\frac{\pi}{4}$$
4. $$\operatorname{arctg}(2-3x)=-\frac{\pi}{4}$$

1) $$\arctg\frac{1-x}{4}=\frac{\pi}{3}$$

Так как $$\frac{\pi}{3}\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right),$$ то по определению арктангенса

$$\frac{1-x}{4}=\tg\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}.$$

Тогда

$$1-x=4\sqrt{3}, \qquad x=1-4\sqrt{3}.$$

2) $$\arctg\frac{1+2x}{3}=\frac{\pi}{4}$$

По определению арктангенса

$$\frac{1+2x}{3}=\tg\frac{\pi}{4}=1.$$

Отсюда

$$1+2x=3, \qquad 2x=2, \qquad x=1.$$

3) $$\arctg(2x+1)=-\frac{\pi}{3}$$

Так как $$-\frac{\pi}{3}\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right),$$ то

$$2x+1=\tg\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt{3}.$$

Тогда

$$2x=-1-\sqrt{3}, \qquad x=-\frac{1+\sqrt{3}}{2}.$$

4) $$\arctg(2-3x)=-\frac{\pi}{4}$$

По определению арктангенса

$$2-3x=\tg\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1.$$

Отсюда

$$3x=3, \qquad x=1.$$

Ответ: 1) $$x=1-4\sqrt{3}$$; 2) $$x=1$$; 3) $$x=-\frac{1+\sqrt{3}}{2}$$; 4) $$x=1$$.