Упр.749 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) tg2 х < 1; 2) tg2 x > =3;
3) ctg x > =-1;
4) ctg x > корень 3.

1. $$\tg^2 x<1$$

   Так как $$\tg^2 x<1 \iff -1<\tg x<1,$$ то решаем двойное неравенство:

   $$-\frac{\pi}{4}+\pi k<x<\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

2. $$\tg^2 x\ge 3$$

   Имеем:

   $$\tg x\le -\sqrt3 \quad \text{или} \quad \tg x\ge \sqrt3.$$

   Тогда

   $$-\frac{\pi}{2}+\pi k<x\le -\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

   или

   $$\frac{\pi}{3}+\pi k\le x<\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

3. $$\ctg x\ge -1$$

   На промежутке $$\left(0;\pi\right)$$ функция $$y=\ctg x$$ убывает, поэтому

   $$\ctg x\ge -1 \iff \pi k<x\le \frac{3\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

4. $$\ctg x>\sqrt3$$

   На промежутке $$\left(0;\pi\right)$$ функция $$y=\ctg x$$ убывает, значит

   $$\ctg x>\sqrt3 \iff \pi k<x<\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$-\frac{\pi}{4}+\pi k<x<\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z;$$

2) $$-\frac{\pi}{2}+\pi k<x\le -\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad \frac{\pi}{3}+\pi k\le x<\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z;$$

3) $$\pi k<x\le \frac{3\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z;$$

4) $$\pi k<x<\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$