Упр.748 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- $$y=\operatorname{tg}\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)$$
- $$y=\operatorname{ctg}\left(3\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$$
1) $$y=\tg\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)$$
а) Область определения
Тангенс не определён, когда его аргумент равен $$\frac{\pi}{2}+\pi n$$, $$n\in\mathbb{Z}$$.
Поэтому
$$3x-\frac{\pi}{4}\ne \frac{\pi}{2}+\pi n$$
$$3x\ne \frac{3\pi}{4}+\pi n$$
$$x\ne \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{3}$$
Следовательно,
$$D(y)=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{3}\mid n\in\mathbb{Z}\right\}.$$
б) Область значений
Так как функция тангенса принимает любые действительные значения, то
$$E(y)=(-\infty;+\infty).$$
в) Период функции
Период тангенса равен $$\pi$$, значит для данной функции
$$3T=\pi,$$
откуда
$$T=\frac{\pi}{3}.$$
г) Чётность
Проверим:
$$y(-x)=\tg\left(-3x-\frac{\pi}{4}\right).$$
Это не равно ни $$y(x)$$, ни $$-y(x)$$, значит функция ни чётная, ни нечётная.
д) Нули функции
Нули находятся из уравнения
$$\tg\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=0.$$
Тогда
$$3x-\frac{\pi}{4}=\pi n,$$
$$3x=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb{Z}.$$
2) $$y=\ctg\left(3\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right)=\ctg\left(3x+\frac{\pi}{2}\right)=-\tg 3x$$
а) Область определения
Котангенс не определён, когда его аргумент равен $$\pi n$$, $$n\in\mathbb{Z}$$.
Поэтому
$$3\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\ne \pi n$$
$$3x+\frac{\pi}{2}\ne \pi n$$
$$x\ne \frac{\pi n}{3}-\frac{\pi}{6},\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Следовательно,
$$D(y)=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi n}{3}-\frac{\pi}{6}\mid n\in\mathbb{Z}\right\}.$$
б) Область значений
Функция котангенса принимает любые действительные значения, значит
$$E(y)=(-\infty;+\infty).$$
в) Период функции
Период котангенса равен $$\pi$$, поэтому
$$3T=\pi,$$
откуда
$$T=\frac{\pi}{3}.$$
г) Чётность
Проверим:
$$y(-x)=\ctg\left(3\left(-x+\frac{\pi}{6}\right)\right),$$
и это не равно ни $$y(x)$$, ни $$-y(x)$$. Значит, функция ни чётная, ни нечётная.
д) Нули функции
Решаем уравнение
$$\ctg\left(3\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right)=0.$$
Тогда
$$3\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
$$3x=\pi n,$$
$$x=\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Ответ
$$D_1=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{3}\mid n\in\mathbb{Z}\right\},\quad E_1=\mathbb{R},\quad T_1=\frac{\pi}{3},\quad y_1\text{ ни чётная, ни нечётная},\quad x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}.$$
$$D_2=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi n}{3}-\frac{\pi}{6}\mid n\in\mathbb{Z}\right\},\quad E_2=\mathbb{R},\quad T_2=\frac{\pi}{3},\quad y_2\text{ ни чётная, ни нечётная},\quad x=\frac{\pi n}{3}.$$
