Упр.746 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

746 1) у = tg|x|;
2) у = |tgx|;
3) у = ctg х;
4) у= 1/ctg х.

1. $$y=\tg|x|$$

   Область определения:

   $$|x|\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

   Область значений:

   $$E(y)=(-\infty;+\infty).$$

   Период функции:

   $$T=\pi.$$

   Функция чётная, так как

   $$y(-x)=\tg|-x|=\tg|x|=y(x).$$

   Нули функции:

   $$\tg|x|=0 \;\Rightarrow\; |x|=\pi n \;\Rightarrow\; x=\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

2. $$y=|\tg x|$$

   Область определения:

   $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

   Область значений:

   $$E(y)=[0;+\infty).$$

   Период функции:

   $$T=\pi.$$

   Функция чётная, так как

   $$y(-x)=|\tg(-x)|=|-\tg x|=|\tg x|=y(x).$$

   Нули функции:

   $$|\tg x|=0 \;\Rightarrow\; \tg x=0 \;\Rightarrow\; x=\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

3. $$y=\ctg x$$

   Область определения:

   $$x\ne \pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

   Область значений:

   $$E(y)=(-\infty;+\infty).$$

   Период функции:

   $$T=\pi.$$

   Функция нечётная, так как

   $$y(-x)=\ctg(-x)=-\ctg x=-y(x).$$

   Нули функции:

   $$\ctg x=0 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

4. $$y=\frac{1}{\ctg x}=\tg x$$

   Область определения:

   $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

   Область значений:

   $$E(y)=(-\infty;+\infty).$$

   Период функции:

   $$T=\pi.$$

   Функция нечётная, так как

   $$y(-x)=\tg(-x)=-\tg x=-y(x).$$

   Нули функции:

   $$\tg x=0 \;\Rightarrow\; x=\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Ответ

1. $$y=\tg|x|$$ — чётная, $$D(y): |x|\ne \frac{\pi}{2}+\pi n$$, $$E(y)=(-\infty;+\infty)$$, период $$\pi$$, нули $$x=\pi n$$.
2. $$y=|\tg x|$$ — чётная, $$D(y): x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n$$, $$E(y)=[0;+\infty)$$, период $$\pi$$, нули $$x=\pi n$$.
3. $$y=\ctg x$$ — нечётная, $$D(y): x\ne \pi n$$, $$E(y)=(-\infty;+\infty)$$, период $$\pi$$, нули $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$.
4. $$y=\frac{1}{\ctg x}=\tg x$$ — нечётная, $$D(y): x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n$$, $$E(y)=(-\infty;+\infty)$$, период $$\pi$$, нули $$x=\pi n$$.