Упр.745 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти множество значений функции $$y=\operatorname{tg}x$$, если $$x$$ принадлежит промежутку: 1) $$\left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{3}\right]$$; 2) $$\left(\frac{3\pi}{4};\frac{3\pi}{2}\right)$$; 3) $$\left(0;\pi\right)$$; 4) $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]$$.

Функция $$y=\tg x$$ на каждом из указанных промежутков, где она определена, монотонно возрастает.

1. При $$x\in\left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{3}\right]$$:

   $$y_{\min}=\tg\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1,$$
   $$y_{\max}=\tg\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}.$$

   Ответ: $$[-1;\sqrt{3}]$$

2. При $$x\in\left(\frac{3\pi}{4};\frac{3\pi}{2}\right)$$ функция имеет разрыв в точке $$x=\frac{\pi}{2}$$.

   На промежутке $$\left(\frac{3\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right)$$ значения функции лежат в промежутке $$(-1;+\infty)$$, а на промежутке $$\left(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right)$$ — в промежутке $$(-\infty;+\infty)$$ без значения $$-1$$, но с любыми большими числами.

   Итак, множество значений:

   Ответ: $$(-1;+\infty)$$

3. При $$x\in(0;\pi)$$ функция имеет разрыв в точке $$x=\frac{\pi}{2}$$.

   На промежутке $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$$:
   $$\tg x\in(0;+\infty).$$

   На промежутке $$\left(\frac{\pi}{2};\pi\right)$$:
   $$\tg x\in(-\infty;0).$$

   Следовательно,

   Ответ: $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$

4. При $$x\in\left[\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]$$ функция имеет разрыв в точке $$x=\frac{\pi}{2}$$.

   На промежутке $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right)$$:
   $$\tg x\in[1;+\infty).$$

   На промежутке $$\left(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{4}\right]$$:
   $$\tg x\in(-\infty;-1].$$

   Итак,

   Ответ: $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$