Упр.744 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Построить график функции и выяснить её свойства:

1. 1) $$y=\tg\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$; 2) $$y=\frac{\tg x}{2}$$.

1) $$y=\tg\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$

Так как график функции $$y=\tg x$$ сдвинут влево на $$\frac{\pi}{4}$$, то:

• область определения: $$x+\frac{\pi}{4}\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$ то есть $$x\ne \frac{\pi}{4}+\pi n;$$
• область значений: $$E(y)=(-\infty;+\infty);$$
• период функции: $$T=\pi;$$
• функция ни чётная, ни нечётная;
• нули функции: $$\tg\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0 \Rightarrow x+\frac{\pi}{4}=\pi n \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z;$$
• возрастает при $$-\frac{3\pi}{4}+\pi n<x<\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z;$$
• положительна при $$-\frac{\pi}{4}+\pi n<x<\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z;$$
• отрицательна при $$\frac{\pi}{4}+\pi n<x<\frac{3\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$y=\tg\frac{x}{2}$$

Это график функции $$y=\tg x$$, растянутый вдоль оси $$Ox$$ в 2 раза. Поэтому:

• область определения: $$\frac{x}{2}\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$ то есть $$x\ne \pi+2\pi n;$$
• область значений: $$E(y)=(-\infty;+\infty);$$
• период функции: $$T=2\pi;$$
• функция нечётная;
• нули функции: $$\tg\frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\pi n \Rightarrow x=2\pi n,\; n\in\mathbb Z;$$
• возрастает при $$-\pi+2\pi n<x<\pi+2\pi n,\; n\in\mathbb Z;$$
• положительна при $$2\pi n<x<\pi+2\pi n,\; n\in\mathbb Z;$$
• отрицательна при $$-\pi+2\pi n<x<2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$