Упр.744 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) y= tg(x+пи/4);
2) y= tgx/2.

1. $$y=\tg\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$

   Область определения:

   $$x+\frac{\pi}{4}\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x\ne \frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Область значений: $$E(y)=(-\infty;+\infty).$$

   Период функции: $$T=\pi.$$

   Чётность: функция ни чётная, ни нечётная.

   Нули функции:

   $$\tg\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0$$

   $$x+\frac{\pi}{4}=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Промежутки знакопостоянства:

   $$\tg\left(x+\frac{\pi}{4}\right)>0 \text{ при } -\frac{\pi}{4}+\pi n<x<\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$\tg\left(x+\frac{\pi}{4}\right)<0 \text{ при } \frac{\pi}{4}+\pi n<x<\frac{3\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Промежутки возрастания:

   $$-\frac{3\pi}{4}+\pi n<x<\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2. $$y=\tg\frac{x}{2}$$

   Область определения:

   $$\frac{x}{2}\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x\ne \pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Область значений: $$E(y)=(-\infty;+\infty).$$

   Период функции:

   $$\tg\left(\frac{x+T}{2}\right)=\tg\frac{x}{2}$$

   $$\frac{T}{2}=\pi,\quad T=2\pi.$$

   Чётность: функция нечётная.

   Нули функции:

   $$\tg\frac{x}{2}=0$$

   $$\frac{x}{2}=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Промежутки знакопостоянства:

   $$\tg\frac{x}{2}>0 \text{ при } 2\pi n<x<\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$\tg\frac{x}{2}<0 \text{ при } -\pi+2\pi n<x<2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Промежутки возрастания:

   $$-\pi+2\pi n<x<\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$y=\tg\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$: $$D(y)=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z\right\},$$
$$E(y)=\mathbb R,$$ период $$\pi,$$ функция ни чётная, ни нечётная, нули $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
возрастает на $$\left(-\frac{3\pi}{4}+\pi n;\frac{\pi}{4}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$y=\tg\frac{x}{2}$$: $$D(y)=\mathbb R\setminus\left\{\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z\right\},$$
$$E(y)=\mathbb R,$$ период $$2\pi,$$ функция нечётная, нули $$x=2\pi n,$$
возрастает на $$\left(-\pi+2\pi n;\pi+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$