Упр.743 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти все решения неравенства, принадлежащие промежутку $$\left(-\frac{\pi}{2};\pi\right)$$: 1) $$\operatorname{tg} 2x\leq 1$$; 2) $$\operatorname{tg} 3x<-\sqrt{3}$$.

1) Рассмотрим неравенство $$\tg 2x \le 1.$$

Так как $$\tg t \le 1 \iff -\frac{\pi}{2}+\pi n < t \le \frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$ то

$$-\frac{\pi}{2}+\pi n < 2x \le \frac{\pi}{4}+\pi n.$$

Делим на $$2$$:

$$-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2} < x \le \frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}.$$

На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\pi\right)$$ получаем:

$$-\frac{\pi}{2} < x \le -\frac{3\pi}{8},$$
$$-\frac{\pi}{4} < x \le \frac{\pi}{8},$$
$$\frac{\pi}{4} < x \le \frac{5\pi}{8},$$
$$\frac{3\pi}{4} < x < \pi.$$

2) Рассмотрим неравенство $$\tg 3x < -\sqrt{3}.$$

Так как $$\tg t < -\sqrt{3} \iff -\frac{\pi}{2}+\pi n < t < -\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$ то

$$-\frac{\pi}{2}+\pi n < 3x < -\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

Делим на $$3$$:

$$-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3} < x < -\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3}.$$

На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\pi\right)$$ получаем:

$$-\frac{\pi}{2} < x < -\frac{4\pi}{9},$$
$$-\frac{\pi}{6} < x < -\frac{\pi}{9},$$
$$\frac{\pi}{6} < x < \frac{2\pi}{9},$$
$$\frac{\pi}{2} < x < \frac{5\pi}{9},$$
$$\frac{5\pi}{6} < x < \frac{8\pi}{9}.$$

Ответ

1) $$x\in\left(-\frac{\pi}{2};-\frac{3\pi}{8}\right]\cup\left(-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{8}\right]\cup\left(\frac{\pi}{4};\frac{5\pi}{8}\right]\cup\left(\frac{3\pi}{4};\pi\right).$$

2) $$x\in\left(-\frac{\pi}{2};-\frac{4\pi}{9}\right)\cup\left(-\frac{\pi}{6};-\frac{\pi}{9}\right)\cup\left(\frac{\pi}{6};\frac{2\pi}{9}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{9}\right)\cup\left(\frac{5\pi}{6};\frac{8\pi}{9}\right).$$