Упр.742 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку $$\left(-\frac{\pi}{2};\pi\right)$$:
   1) $$\operatorname{tg} 2x=\sqrt{3}$$;
   2) $$\operatorname{tg} 3x=-1$$.

1) $$\tg 2x=\sqrt{3}$$

Общее решение:

$$2x=\arctg \sqrt{3}+\pi n=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

Тогда

$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}$$

Подберём значения, принадлежащие промежутку $$\left(-\frac{\pi}{2};\pi\right):$$

$$x=-\frac{\pi}{3},\ \frac{\pi}{6},\ \frac{2\pi}{3}$$

2) $$\tg 3x=-1$$

Общее решение:

$$3x=-\arctg 1+\pi n=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

Тогда

$$x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}$$

Подберём значения, принадлежащие промежутку $$\left(-\frac{\pi}{2};\pi\right):$$

$$x=-\frac{5\pi}{12},\ -\frac{\pi}{12},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{7\pi}{12},\ \frac{11\pi}{12}$$

Ответ

1) $$x=-\frac{\pi}{3},\ \frac{\pi}{6},\ \frac{2\pi}{3}$$

2) $$x=-\frac{5\pi}{12},\ -\frac{\pi}{12},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{7\pi}{12},\ \frac{11\pi}{12}$$