Упр.741 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) tg х > = 3;
2) tg х < 4; 3) tg х < = -4; 4) tg х > -3.

1. $$\tg x \ge 3$$

   Так как функция $$\tg x$$ возрастает на каждом промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$, получаем:

   $$\arctg 3+\pi n \le x < \frac{\pi}{2}+\pi n.$$

   На отрезке $$[0;3\pi]$$ это даёт:

   $$\arctg 3 \le x < \frac{\pi}{2},$$ $$\arctg 3+\pi \le x < \frac{3\pi}{2},$$ $$\arctg 3+2\pi \le x < \frac{5\pi}{2}.$$

2. $$\tg x < 4$$

   На каждом промежутке возрастания функции $$\tg x$$ имеем:

   $$-\frac{\pi}{2}+\pi n < x < \arctg 4+\pi n.$$

   На отрезке $$[0;3\pi]$$:

   $$0 \le x < \arctg 4,$$ $$\frac{\pi}{2} < x < \arctg 4+\pi,$$ $$\frac{3\pi}{2} < x < \arctg 4+2\pi,$$ $$\frac{5\pi}{2} < x \le 3\pi.$$

3. $$\tg x \le -4$$

   Аналогично:

   $$\frac{\pi}{2}+\pi n < x \le -\arctg 4+\pi+\pi n.$$

   На отрезке $$[0;3\pi]$$ получаем:

   $$\frac{\pi}{2} < x \le -\arctg 4+\pi,$$ $$\frac{3\pi}{2} < x \le -\arctg 4+2\pi,$$ $$\frac{5\pi}{2} < x \le -\arctg 4+3\pi.$$

4. $$\tg x > -3$$

   Так как $$\tg x$$ возрастает, то:

   $$x > -\arctg 3+\pi n.$$

   На отрезке $$[0;3\pi]$$:

   $$0 \le x < \frac{\pi}{2},$$ $$-\arctg 3+\pi < x < \frac{3\pi}{2},$$ $$-\arctg 3+2\pi < x < \frac{5\pi}{2}.$$

Ответ

1) $$\arctg 3 \le x < \frac{\pi}{2},\ \arctg 3+\pi \le x < \frac{3\pi}{2},\ \arctg 3+2\pi \le x < \frac{5\pi}{2}$$
2) $$0 \le x < \arctg 4,\ \frac{\pi}{2} < x < \arctg 4+\pi,\ \frac{3\pi}{2} < x < \arctg 4+2\pi,\ \frac{5\pi}{2} < x \le 3\pi$$
3) $$\frac{\pi}{2} < x \le -\arctg 4+\pi,\ \frac{3\pi}{2} < x \le -\arctg 4+2\pi,\ \frac{5\pi}{2} < x \le -\arctg 4+3\pi$$
4) $$0 \le x < \frac{\pi}{2},\ -\arctg 3+\pi < x < \frac{3\pi}{2},\ -\arctg 3+2\pi < x < \frac{5\pi}{2}$$