Упр.741 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку $$[0;3\pi]$$:
   1) $$\operatorname{tg} x \geq 3$$;
   2) $$\operatorname{tg} x < 4$$;
   3) $$\operatorname{tg} x \leq -4$$;
   4) $$\operatorname{tg} x > -3$$.

1) $$\tg x \ge 3$$

Функция $$y=\tg x$$ возрастает на каждом промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$, поэтому

$$\tg x \ge 3 \iff \arctg 3+\pi n \le x < \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

На отрезке $$[0;3\pi]$$ получаем:

$$\arctg 3 \le x < \frac{\pi}{2},$$
$$\arctg 3+\pi \le x < \frac{3\pi}{2},$$
$$\arctg 3+2\pi \le x < \frac{5\pi}{2}.$$

2) $$\tg x < 4$$

Так как $$\tg x$$ возрастает, то

$$\tg x < 4 \iff -\frac{\pi}{2}+\pi n < x < \arctg 4+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

На отрезке $$[0;3\pi]$$:

$$0 \le x < \arctg 4,$$
$$\frac{\pi}{2} < x < \arctg 4+\pi,$$
$$\frac{3\pi}{2} < x < \arctg 4+2\pi,$$
$$\frac{5\pi}{2} < x \le 3\pi.$$

3) $$\tg x \le -4$$

На каждом промежутке возрастания функции $$\tg x$$ имеем

$$\tg x \le -4 \iff \frac{\pi}{2}+\pi n < x \le -\arctg 4+\pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

На отрезке $$[0;3\pi]$$:

$$\frac{\pi}{2} < x \le -\arctg 4+\pi,$$
$$\frac{3\pi}{2} < x \le -\arctg 4+2\pi,$$
$$\frac{5\pi}{2} < x \le -\arctg 4+3\pi.$$

4) $$\tg x > -3$$

Так как $$\tg x$$ возрастает, то

$$\tg x > -3 \iff -\frac{\pi}{2}+\pi n < x < \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x>\arctg(-3)+\pi n=-\arctg 3+\pi n.$$

На отрезке $$[0;3\pi]$$ получаем:

$$0 \le x < \frac{\pi}{2},$$
$$-\arctg 3+\pi < x < \frac{3\pi}{2},$$
$$-\arctg 3+2\pi < x < \frac{5\pi}{2},$$
$$-\arctg 3+3\pi < x \le 3\pi.$$

Ответ

1) $$x\in\left[\arctg 3;\frac{\pi}{2}\right)\cup\left[\arctg 3+\pi;\frac{3\pi}{2}\right)\cup\left[\arctg 3+2\pi;\frac{5\pi}{2}\right).$$

2) $$x\in\left[0;\arctg 4\right)\cup\left(\frac{\pi}{2};\arctg 4+\pi\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2};\arctg 4+2\pi\right)\cup\left(\frac{5\pi}{2};3\pi\right].$$

3) $$x\in\left(\frac{\pi}{2};-\arctg 4+\pi\right]\cup\left(\frac{3\pi}{2};-\arctg 4+2\pi\right]\cup\left(\frac{5\pi}{2};-\arctg 4+3\pi\right].$$

4) $$x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(-\arctg 3+\pi;\frac{3\pi}{2}\right)\cup\left(-\arctg 3+2\pi;\frac{5\pi}{2}\right)\cup\left(-\arctg 3+3\pi;3\pi\right].$$