Упр.740 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решить неравенство:
- 1) $$\mathrm{tg}\,x>4$$; 2) $$\mathrm{tg}\,x\leq 5$$; 3) $$\mathrm{tg}\,x<-4$$; 4) $$\mathrm{tg}\,x\geq -5$$.
1) На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ функция $$\tg x$$ возрастает, поэтому из неравенства $$\tg x>4$$ получаем
$$x\in\left(\arctg 4;\frac{\pi}{2}\right).$$
С учётом периодичности функции $$\tg x$$:
$$x\in\left(\arctg 4+\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$
2) Аналогично, из неравенства $$\tg x\le 5$$ на промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ получаем
$$x\in\left(-\frac{\pi}{2};\arctg 5\right].$$
Тогда общее решение:
$$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\arctg 5+\pi k\right],\quad k\in\mathbb Z.$$
3) Из неравенства $$\tg x<-4$$ на промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ получаем
$$x\in\left(-\frac{\pi}{2};-\arctg 4\right).$$
С учётом периода $$\pi$$:
$$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;-\arctg 4+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$
4) Из неравенства $$\tg x\ge -5$$ на промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ получаем
$$x\in\left[-\arctg 5;\frac{\pi}{2}\right).$$
Тогда общее решение:
$$x\in\left[-\arctg 5+\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$
Ответ:
1) $$x\in\left(\arctg 4+\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$
2) $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\arctg 5+\pi k\right],\ k\in\mathbb Z$$
3) $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;-\arctg 4+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$
4) $$x\in\left[-\arctg 5+\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$
