Упр.739 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[0;3\pi]$$:
1) $$\operatorname{tg} x=3$$;
2) $$\operatorname{tg} x=-2$$.

1) $$\tg x=3$$

Общее решение:

$$x=\arctg 3+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Найдём значения, принадлежащие отрезку $$[0;3\pi]$$:

$$x_1=\arctg 3,\quad x_2=\arctg 3+\pi,\quad x_3=\arctg 3+2\pi.$$

При $$k=3$$ получаем $$x=\arctg 3+3\pi>3\pi,$$ поэтому это значение не подходит.

2) $$\tg x=-2$$

Общее решение:

$$x=\arctg(-2)+\pi k=-\arctg 2+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Найдём значения на отрезке $$[0;3\pi]$$:

$$x_1=-\arctg 2+\pi,\quad x_2=-\arctg 2+2\pi,\quad x_3=-\arctg 2+3\pi.$$

При $$k=0$$ получаем $$x=-\arctg 2<0,$$ поэтому это значение не подходит.

Ответ

1) $$x=\arctg 3,\ \arctg 3+\pi,\ \arctg 3+2\pi.$$

2) $$x=-\arctg 2+\pi,\ -\arctg 2+2\pi,\ -\arctg 2+3\pi.$$