Упр.738 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
1) tgx > 1;
2) tg х < = корень 3;
3) tg x < = корень 3/3;
4) tgx > -1.
$$\tg x<1$$
На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$$ функция $$\tg x$$ возрастает, поэтому
$$x<\arctg 1=\frac{\pi}{4}.$$
С учётом периодичности $$\tg x$$ получаем:
$$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\frac{\pi}{4}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$
$$\tg x\ge \sqrt3$$
Так как $$\arctg \sqrt3=\frac{\pi}{3},$$ то на промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$$ имеем
$$x\ge \frac{\pi}{3}.$$
С учётом периода $$\pi$$:
$$x\in\left[\frac{\pi}{3}+\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$
$$\tg x\le -\frac{\sqrt3}{3}$$
Так как $$\arctg\left(-\frac{\sqrt3}{3}\right)=-\frac{\pi}{6},$$ то на промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$$ получаем
$$x\le -\frac{\pi}{6}.$$
С учётом периодичности:
$$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;-\frac{\pi}{6}+\pi k\right],\ k\in\mathbb Z.$$
$$\tg x>-1$$
Так как $$\arctg(-1)=-\frac{\pi}{4},$$ то на промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$$ имеем
$$x>-\frac{\pi}{4}.$$
С учётом периода $$\pi$$:
$$x\in\left(-\frac{\pi}{4}+\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$
Ответ
1) $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\frac{\pi}{4}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$
2) $$x\in\left[\frac{\pi}{3}+\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$
3) $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;-\frac{\pi}{6}+\pi k\right],\ k\in\mathbb Z$$
4) $$x\in\left(-\frac{\pi}{4}+\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$
