Упр.738 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Решить неравенство:

$$\operatorname{tg} x > 1$$;
$$\operatorname{tg} x \leq \sqrt{3}$$;
$$\operatorname{tg} x \leq \frac{\sqrt{3}}{3}$$;
$$\operatorname{tg} x > -1$$.

Подробный ответ

1) На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ функция $$\tg x$$ возрастает, поэтому из неравенства $$\tg x<1$$ получаем

$$-\frac{\pi}{2}<x<\arctg 1=\frac{\pi}{4}.$$

С учётом периодичности функции $$\tg x$$:

$$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\frac{\pi}{4}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

2) Так как $$\arctg \sqrt{3}=\frac{\pi}{3},$$ то из неравенства $$\tg x\ge \sqrt{3}$$ на промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ получаем

$$\frac{\pi}{3}\le x<\frac{\pi}{2}.$$

С учётом периодичности:

$$x\in\left[\frac{\pi}{3}+\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

3) Так как $$\arctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=-\frac{\pi}{6},$$ то из неравенства $$\tg x\le -\frac{\sqrt{3}}{3}$$ на промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ получаем

$$-\frac{\pi}{2}<x\le -\frac{\pi}{6}.$$

С учётом периодичности:

$$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;-\frac{\pi}{6}+\pi k\right],\quad k\in\mathbb Z.$$

4) Так как $$\arctg(-1)=-\frac{\pi}{4},$$ то из неравенства $$\tg x>-1$$ на промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ получаем

$$-\frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{2}.$$

С учётом периодичности:

$$x\in\left(-\frac{\pi}{4}+\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$