Упр.737 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) tgx > = 1;
2) tg х < корень 3/3; 3) tg x < -1; 4) tgx > = — корень 3.

1. $$\tg x \ge 1$$

   Значение $$\tg x = 1$$ достигается при $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$. На каждом промежутке монотонности тангенса получаем:

   $$\frac{\pi}{4}+\pi n \le x < \frac{\pi}{2}+\pi n.$$

   На промежутке $$(-\pi;2\pi)$$ это даёт:

   $$\left[-\frac{3\pi}{4};-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right)\cup\left[\frac{5\pi}{4};\frac{3\pi}{2}\right).$$

2. $$\tg x < \frac{\sqrt3}{3}$$

   Так как $$\arctg\frac{\sqrt3}{3}=\frac{\pi}{6}$$, то

   $$-\frac{\pi}{2}+\pi n < x < \frac{\pi}{6}+\pi n.$$

   На промежутке $$(-\pi;2\pi)$$ получаем:

   $$\left(-\pi;-\frac{5\pi}{6}\right)\cup\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2};\frac{7\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2};2\pi\right).$$

3. $$\tg x < -1$$

   Так как $$\arctg(-1)=-\frac{\pi}{4}$$, то

   $$-\frac{\pi}{2}+\pi n < x < -\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

   На промежутке $$(-\pi;2\pi)$$ получаем:

   $$\left(-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2};\frac{7\pi}{4}\right).$$

4. $$\tg x \ge -\sqrt3$$

   Так как $$\arctg(-\sqrt3)=-\frac{\pi}{3}$$, то

   $$-\frac{\pi}{3}+\pi n \le x < \frac{\pi}{2}+\pi n.$$

   На промежутке $$(-\pi;2\pi)$$ получаем:

   $$\left(-\pi;-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left[-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2}\right)\cup\left[\frac{2\pi}{3};\frac{3\pi}{2}\right)\cup\left[\frac{5\pi}{3};2\pi\right).$$

Ответ

1) $$\left[-\frac{3\pi}{4};-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right)\cup\left[\frac{5\pi}{4};\frac{3\pi}{2}\right)$$;
2) $$\left(-\pi;-\frac{5\pi}{6}\right)\cup\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2};\frac{7\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2};2\pi\right)$$;
3) $$\left(-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2};\frac{7\pi}{4}\right)$$;
4) $$\left(-\pi;-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left[-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2}\right)\cup\left[\frac{2\pi}{3};\frac{3\pi}{2}\right)\cup\left[\frac{5\pi}{3};2\pi\right).$$