Упр.735 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Функция $$y=\tg x$$ возрастает на каждом промежутке вида $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$ Поэтому сравниваем числа по их расположению на одном промежутке возрастания.

1. $$\frac{\pi}{5}>\frac{\pi}{7},$$ а оба угла лежат на промежутке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right].$$ Значит,

   $$\tg\frac{\pi}{5}>\tg\frac{\pi}{7}.$$

2. $$\frac{7\pi}{8}<\frac{8\pi}{9},$$ и оба угла лежат на промежутке $$\left[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$, где функция $$\tg x$$ также возрастает. Следовательно,

   $$\tg\frac{7\pi}{8}<\tg\frac{8\pi}{9}.$$

3. $$-\frac{7\pi}{8}>-\frac{8\pi}{9},$$ и оба угла лежат на промежутке $$\left[-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2}\right].$$ Поэтому

   $$\tg\left(-\frac{7\pi}{8}\right)>\tg\left(-\frac{8\pi}{9}\right).$$

4. $$-\frac{\pi}{5}<-\frac{\pi}{7},$$ а оба угла принадлежат промежутку $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$ Значит,

   $$\tg\left(-\frac{\pi}{5}\right)<\tg\left(-\frac{\pi}{7}\right).$$

5. $$2<3,$$ и оба числа лежат на промежутке $$\left[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right].$$ Следовательно,

   $$\tg 2<\tg 3.$$

6. $$1<1{,}5,$$ а оба числа принадлежат промежутку $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right].$$ Значит,

   $$\tg 1<\tg 1{,}5.$$

Ответ: 1) $$\tg\frac{\pi}{5}>\tg\frac{\pi}{7}$$; 2) $$\tg\frac{7\pi}{8}<\tg\frac{8\pi}{9}$$; 3) $$\tg\left(-\frac{7\pi}{8}\right)>\tg\left(-\frac{8\pi}{9}\right)$$; 4) $$\tg\left(-\frac{\pi}{5}\right)<\tg\left(-\frac{\pi}{7}\right)$$; 5) $$\tg 2<\tg 3$$; 6) $$\tg 1<\tg 1{,}5$$.