Упр.732 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. 32. Сила переменного электрического тока является функцией, зависящей от времени, и выражается формулой $$I=A\sin(\omega t+\varphi)$$, где $$A$$ — амплитуда колебания, $$\omega$$ — частота, $$\varphi$$ — начальная фаза. Построить график этой функции, если:
   1) $$A=2$$, $$\omega=1$$, $$\varphi=\frac{\pi}{4}$$;
   2) $$A=1$$, $$\omega=2$$, $$\varphi=\frac{\pi}{3}$$.

1) $$I=2\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right)$$

Амплитуда равна $$2$$, значит область значений:

$$-2\le I\le 2.$$

Период функции:

$$T=\frac{2\pi}{1}=2\pi.$$

Нули функции находим из уравнения:

$$2\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right)=0,$$

$$\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right)=0,$$

$$t+\frac{\pi}{4}=\pi n,$$

$$t=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Максимумы:

$$\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right)=1,$$

$$t+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$t=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Минимумы:

$$\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right)=-1,$$

$$t+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$t=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$I=\sin\left(2t+\frac{\pi}{3}\right)$$

Амплитуда равна $$1$$, значит область значений:

$$-1\le I\le 1.$$

Период функции:

$$T=\frac{2\pi}{2}=\pi.$$

Нули функции:

$$\sin\left(2t+\frac{\pi}{3}\right)=0,$$

$$2t+\frac{\pi}{3}=\pi n,$$

$$t=-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Максимумы:

$$\sin\left(2t+\frac{\pi}{3}\right)=1,$$

$$2t+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$2t=\frac{\pi}{6}+2\pi n,$$

$$t=\frac{\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Минимумы:

$$\sin\left(2t+\frac{\pi}{3}\right)=-1,$$

$$2t+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$2t=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$

$$t=-\frac{5\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Графики обеих функций — синусоиды с указанными амплитудами, периодами и сдвигами по оси времени.

Ответ

1) $$I=2\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right),\quad E(I)=[-2;2],\quad T=2\pi.$$

2) $$I=\sin\left(2t+\frac{\pi}{3}\right),\quad E(I)=[-1;1],\quad T=\pi.$$