Упр.731 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

1) y = sin|x|;
2) y = |sinx|.

Подробный ответ

1) $$y=\sin|x|$$

Так как $$|x|=x$$ при $$x\ge 0$$ и $$|x|=-x$$ при $$x<0$$, то

$$ y=\sin|x|=\begin{cases} \sin x, & x\ge 0,\\ -\sin x, & x<0. \end{cases} $$

График функции получается из графика $$y=\sin x$$ отражением его части при $$x>0$$ относительно оси $$Oy$$.

Основные свойства:

$$D(y)=(-\infty;+\infty)$$;
$$E(y)=[-1;1]$$;
функция чётная, так как $$y(-x)=\sin|-x|=\sin|x|=y(x)$$;
период функции $$T=2\pi$$;
нули функции: $$\sin|x|=0 \Rightarrow |x|=\pi n \Rightarrow x=\pi n,\; n\in\mathbb Z$$;
максимум $$1$$ достигается при $$|x|=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$$;
минимум $$-1$$ достигается при $$|x|=\dfrac{3\pi}{2}+2\pi n$$.

2) $$y=|\sin x|$$

Здесь отрицательные значения функции $$\sin x$$ заменяются на противоположные, поэтому часть графика ниже оси $$Ox$$ отражается вверх.

Основные свойства:

$$D(y)=(-\infty;+\infty)$$;
$$E(y)=[0;1]$$;
функция чётная, так как $$y(-x)=|\sin(-x)|=|\sin x|=y(x)$$;
период функции $$T=\pi$$, так как $$|\sin(x+\pi)|=|-\sin x|=|\sin x|$$;
нули функции: $$|\sin x|=0 \Rightarrow \sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in\mathbb Z$$;
максимум $$1$$ достигается при $$x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$.

График $$y=|\sin x|$$ — это график $$y=\sin x$$, у которого все участки ниже оси $$Ox$$ отражены вверх.