Упр.729 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Построить график функции и выяснить её свойства:
- $$y=1-\sin x$$;
- $$y=2+\sin x$$;
- $$y=\sin 3x$$;
- $$y=2\sin x$$.
1) $$y=1-\sin x$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Область значений: $$-1\le \sin x\le 1 \Rightarrow 0\le 1-\sin x\le 2,$$ значит $$E(y)=[0;2].$$
Период функции: $$T=2\pi.$$
Функция ни чётная, ни нечётная, так как $$y(-x)=1-\sin(-x)=1+\sin x\ne y(x),\quad y(-x)\ne -y(x).$$
Нули функции:
$$1-\sin x=0 \Rightarrow \sin x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
Наибольшее значение равно $$2,$$ при $$\sin x=-1,$$ то есть при $$x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
Наименьшее значение равно $$0,$$ при $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
Возрастает при $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
убывает при $$\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) $$y=2+\sin x$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Область значений: $$-1\le \sin x\le 1 \Rightarrow 1\le 2+\sin x\le 3,$$ значит $$E(y)=[1;3].$$
Период функции: $$T=2\pi.$$
Функция ни чётная, ни нечётная, так как $$y(-x)=2+\sin(-x)=2-\sin x\ne y(x),\quad y(-x)\ne -y(x).$$
Нулей нет, так как $$2+\sin x=0 \Rightarrow \sin x=-2,$$ что невозможно.
Наибольшее значение равно $$3,$$ при $$\sin x=1,$$ то есть при $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
Наименьшее значение равно $$1,$$ при $$\sin x=-1,$$ то есть при $$x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
Возрастает при $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
убывает при $$\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
3) $$y=\sin 3x$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Область значений: $$-1\le \sin 3x\le 1,$$ значит $$E(y)=[-1;1].$$
Период функции: $$T=\frac{2\pi}{3}.$$
Функция нечётная, так как $$y(-x)=\sin(-3x)=-\sin 3x=-y(x).$$
Нули функции:
$$\sin 3x=0 \Rightarrow 3x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z.$$
Наибольшее значение равно $$1,$$ при $$\sin 3x=1,$$ то есть при $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z.$$
Наименьшее значение равно $$-1,$$ при $$\sin 3x=-1,$$ то есть при $$x=-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z.$$
Возрастает при $$-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},$$
убывает при $$\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$
4) $$y=2\sin x$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Область значений: $$-1\le \sin x\le 1 \Rightarrow -2\le 2\sin x\le 2,$$ значит $$E(y)=[-2;2].$$
Период функции: $$T=2\pi.$$
Функция нечётная, так как $$y(-x)=2\sin(-x)=-2\sin x=-y(x).$$
Нули функции:
$$2\sin x=0 \Rightarrow \sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
Наибольшее значение равно $$2,$$ при $$\sin x=1,$$ то есть при $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
Наименьшее значение равно $$-2,$$ при $$\sin x=-1,$$ то есть при $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
Возрастает при $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
убывает при $$\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
