Упр.729 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
1) у = 1 — sin х;
2) у = 2 + sin х;
3) у = sin Зх;
4) у = 2 sin х.
1) $$y=1-\sin x$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty)$$
Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то
$$0\le 1-\sin x\le 2,$$
следовательно, $$E(y)=[0;2].$$
Период функции: $$T=2\pi.$$
Функция ни чётная, ни нечётная, так как
$$y(-x)=1-\sin(-x)=1+\sin x\ne y(x),\qquad y(-x)\ne -y(x).$$
Нули функции:
$$1-\sin x=0 \Rightarrow \sin x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
Наибольшее значение равно $$2,$$ оно достигается при
$$\sin x=-1 \Rightarrow x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
Наименьшее значение равно $$0,$$ оно достигается при
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
Функция убывает при
$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
и возрастает при
$$\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
2) $$y=2+\sin x$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty)$$
Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то
$$1\le 2+\sin x\le 3,$$
следовательно, $$E(y)=[1;3].$$
Период функции: $$T=2\pi.$$
Функция ни чётная, ни нечётная, так как
$$y(-x)=2+\sin(-x)=2-\sin x\ne y(x),\qquad y(-x)\ne -y(x).$$
Нулей нет, так как $$2+\sin x=0$$ не имеет решений.
Наибольшее значение равно $$3,$$ оно достигается при
$$\sin x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
Наименьшее значение равно $$1,$$ оно достигается при
$$\sin x=-1 \Rightarrow x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
Функция возрастает при
$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
и убывает при
$$\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
3) $$y=\sin 3x$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty)$$
Так как $$-1\le \sin 3x\le 1,$$ то
$$E(y)=[-1;1].$$
Период функции: $$T=\frac{2\pi}{3}.$$
Функция нечётная, так как
$$y(-x)=\sin(-3x)=-\sin 3x=-y(x).$$
Нули функции:
$$\sin 3x=0 \Rightarrow 3x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$$
Наибольшее значение равно $$1,$$ оно достигается при
$$3x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$$
Наименьшее значение равно $$-1,$$ оно достигается при
$$3x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n \Rightarrow x=-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$$
Функция возрастает при
$$-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z,$$
и убывает при
$$\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$$
4) $$y=2\sin x$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty)$$
Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то
$$-2\le 2\sin x\le 2,$$
следовательно, $$E(y)=[-2;2].$$
Период функции: $$T=2\pi.$$
Функция нечётная, так как
$$y(-x)=2\sin(-x)=-2\sin x=-y(x).$$
Нули функции:
$$2\sin x=0 \Rightarrow \sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
Наибольшее значение равно $$2,$$ оно достигается при
$$\sin x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
Наименьшее значение равно $$-2,$$ оно достигается при
$$\sin x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
Функция возрастает при
$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
и убывает при
$$\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
Ответ
1) $$D=\mathbb R,\ E=[0;2],\ T=2\pi,$$ функция ни чётная, ни нечётная;
2) $$D=\mathbb R,\ E=[1;3],\ T=2\pi,$$ функция ни чётная, ни нечётная;
3) $$D=\mathbb R,\ E=[-1;1],\ T=\frac{2\pi}{3},$$ функция нечётная;
4) $$D=\mathbb R,\ E=[-2;2],\ T=2\pi,$$ функция нечётная.
