Упр.727 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[-\frac{3\pi}{2};\pi\right]$$: 1) $$\sin 2x=-\frac{1}{2}$$; 2) $$\sin 3x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$.

1) $$\sin 2x=-\frac12$$

Общее решение:

$$2x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac12+\pi n=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

откуда

$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z.$$

Отбираем корни, принадлежащие отрезку $$\left[-\frac{3\pi}{2};\pi\right].$$ Получаем:

$$x=-\frac{17\pi}{12},\ -\frac{13\pi}{12},\ -\frac{5\pi}{12},\ -\frac{\pi}{12},\ \frac{7\pi}{12},\ \frac{11\pi}{12}.$$

2) $$\sin 3x=\frac{\sqrt3}{2}$$

Общее решение:

$$3x=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt3}{2}+\pi n=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,$$

откуда

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3}, \quad n\in\mathbb Z.$$

Отбираем корни на отрезке $$\left[-\frac{3\pi}{2};\pi\right].$$ Получаем:

$$x=-\frac{11\pi}{9},\ -\frac{10\pi}{9},\ -\frac{5\pi}{9},\ -\frac{4\pi}{9},\ \frac{\pi}{9},\ \frac{2\pi}{9},\ \frac{7\pi}{9},\ \frac{8\pi}{9}.$$

Ответ

1) $$-\frac{17\pi}{12},\ -\frac{13\pi}{12},\ -\frac{5\pi}{12},\ -\frac{\pi}{12},\ \frac{7\pi}{12},\ \frac{11\pi}{12}.$$

2) $$-\frac{11\pi}{9},\ -\frac{10\pi}{9},\ -\frac{5\pi}{9},\ -\frac{4\pi}{9},\ \frac{\pi}{9},\ \frac{2\pi}{9},\ \frac{7\pi}{9},\ \frac{8\pi}{9}.$$