Упр.72 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Выяснить, какое из чисел больше:

1. $$3^{\sqrt{71}}$$ или $$3^{\sqrt{69}}$$;
2. $$\left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{3}}$$ или $$\left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{2}}$$;
3. $$4^{-\sqrt{3}}$$ или $$4^{-\sqrt{2}}$$;
4. $$2^{\sqrt{3}}$$ или $$2^{1,7}$$;
5. $$\left(\frac{1}{2}\right)^{1,4}$$ или $$\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{2}}$$;
6. $$\left(\frac{1}{9}\right)^{\pi}$$ или $$\left(\frac{1}{9}\right)^{3,14}$$.

1) Так как $$71>69,$$ то $$\sqrt{71}>\sqrt{69}.$$ При основании $$3>1$$ большему показателю соответствует большее значение степени, значит

$$3^{\sqrt{71}}>3^{\sqrt{69}}.$$

Ответ: $$3^{\sqrt{71}}.$$

2) Представим числа в виде степеней с основанием $$3$$:

$$\left(\frac13\right)^{\sqrt3}=3^{-\sqrt3}, \qquad \left(\frac13\right)^{\sqrt2}=3^{-\sqrt2}.$$

Так как $$\sqrt3>\sqrt2,$$ то $$-\sqrt3<-\sqrt2.$$ При основании $$3>1$$ большему показателю соответствует большее значение степени, поэтому

$$3^{-\sqrt3}<3^{-\sqrt2},$$

то есть

$$\left(\frac13\right)^{\sqrt3}<\left(\frac13\right)^{\sqrt2}.$$

Ответ: $$\left(\frac13\right)^{\sqrt2}.$$

3) Запишем числа как степени с основанием $$4$$:

$$4^{-\sqrt3} \text{ и } 4^{-\sqrt2}.$$

Так как $$\sqrt3>\sqrt2,$$ то $$-\sqrt3<-\sqrt2.$$ При основании $$4>1$$ получаем

$$4^{-\sqrt3}<4^{-\sqrt2}.$$

Ответ: $$4^{-\sqrt2}.$$

4) Сравним показатели:

$$\sqrt3\approx 1{,}732>1{,}7.$$

Так как основание $$2>1,$$ то

$$2^{\sqrt3}>2^{1{,}7}.$$

Ответ: $$2^{\sqrt3}.$$

5) Представим числа в виде степеней с основанием $$2$$:

$$\left(\frac12\right)^{1{,}4}=2^{-1{,}4}, \qquad \left(\frac12\right)^{\sqrt2}=2^{-\sqrt2}.$$

Так как $$1{,}4<\sqrt2,$$ то $$-1{,}4>-\sqrt2.$$ При основании $$2>1$$ получаем

$$2^{-1{,}4}>2^{-\sqrt2},$$

то есть

$$\left(\frac12\right)^{1{,}4}>\left(\frac12\right)^{\sqrt2}.$$

Ответ: $$\left(\frac12\right)^{1{,}4}.$$

6) Запишем числа в виде степеней с основанием $$9$$:

$$\left(\frac19\right)^{\pi}=9^{-\pi}, \qquad \left(\frac19\right)^{3{,}14}=9^{-3{,}14}.$$

Так как $$\pi\approx 3{,}1415>3{,}14,$$ то $$-\pi<-3{,}14.$$ При основании $$9>1$$ имеем

$$9^{-\pi}<9^{-3{,}14}.$$

Ответ: $$\left(\frac19\right)^{3{,}14}.$$