Упр.719 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) у = |cos х|;
2) у = 3 — 2 cos (х — 1).

1. Для функции $$y=|\cos x|$$ отрицательные значения графика $$y=\cos x$$ отражаем относительно оси $$Ox$$ вверх.

   Так как $$\cos x$$ принимает значения от $$-1$$ до $$1$$, то

   $$0 \le |\cos x| \le 1.$$

   Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

   Область значений: $$E(y)=[0;1].$$

   Период функции: $$T=\pi,$$ так как $$|\cos(x+\pi)|=|-\cos x|=|\cos x|.$$

   Функция чётная, потому что

   $$y(-x)=|\cos(-x)|=|\cos x|=y(x).$$

   Нули функции:

   $$|\cos x|=0 \;\Rightarrow\; \cos x=0 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

   Максимум функции равен $$1$$ и достигается при

   $$\cos x=\pm 1 \;\Rightarrow\; x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2. Для функции $$y=3-2\cos(x-1)$$ сначала строим график $$y=\cos x$$, затем сдвигаем его вправо на $$1$$, растягиваем по оси $$Oy$$ в $$2$$ раза с отражением относительно оси $$Ox$$ и поднимаем вверх на $$3$$ единицы.

   Так как $$-1 \le \cos(x-1) \le 1,$$ то

   $$1 \le 3-2\cos(x-1) \le 5.$$

   Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

   Область значений: $$E(y)=[1;5].$$

   Период функции: $$T=2\pi,$$ так как сдвиг по аргументу на $$1$$ не меняет период косинуса.

   Функция ни чётная, ни нечётная.

   Нулей нет, так как $$3-2\cos(x-1)=0$$ невозможно: левая часть принимает значения только от $$1$$ до $$5$$.

   Максимум функции равен $$5$$ и достигается при

   $$\cos(x-1)=-1 \;\Rightarrow\; x=1+\pi+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

   Минимум функции равен $$1$$ и достигается при

   $$\cos(x-1)=1 \;\Rightarrow\; x=1+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$y=|\cos x|$$: $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=[0;1],\ T=\pi,$$ функция чётная, нули $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$ максимум $$1$$ при $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$y=3-2\cos(x-1)$$: $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=[1;5],\ T=2\pi,$$ функция ни чётная, ни нечётная, нулей нет, минимум $$1$$ при $$x=1+2\pi n,$$ максимум $$5$$ при $$x=1+\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$