Упр.718 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти множество значений функции $$y=\cos x$$, если $$x$$ принадлежит промежутку: 1) $$\left[\frac{\pi}{3};\pi\right]$$; 2) $$\left(\frac{5\pi}{4};\frac{7\pi}{4}\right)$$.

Функция $$y=\cos x$$ на промежутке $$\left[\frac{\pi}{3};\pi\right]$$ убывает, поэтому наибольшее значение она принимает в левой границе, а наименьшее — в правой:

$$y_{\max}=\cos\frac{\pi}{3}=\frac12,$$

$$y_{\min}=\cos\pi=-1.$$

Следовательно, множество значений функции:

$$E(y)=\left[-1;\frac12\right].$$

На промежутке $$\left(\frac{5\pi}{4};\frac{7\pi}{4}\right)$$ функция $$y=\cos x$$ возрастает, поэтому значения функции лежат между значениями на концах промежутка, не включая их:

$$\cos\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}, \qquad \cos\frac{7\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Значит,

$$E(y)=\left(-\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right).$$

Ответ

1) $$\left[-1;\frac12\right]$$

2) $$\left(-\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right)$$