Упр.715 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$:
   1) $$\cos 2x=\frac{1}{2}$$;
   2) $$\cos 3x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$.

1) $$\cos 2x=\frac12$$

Положим $$t=2x$$. Тогда при $$x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$ получаем $$t\in[-\pi;3\pi]$$.

Решаем уравнение:

$$\cos t=\frac12$$

$$t=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Тогда

$$x=\frac{t}{2}=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n$$

На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$ получаем:

$$x=-\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6}$$

2) $$\cos 3x=\frac{\sqrt3}{2}$$

Положим $$t=3x$$. Тогда при $$x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$ имеем $$t\in\left[-\frac{3\pi}{2};\frac{9\pi}{2}\right]$$.

Решаем уравнение:

$$\cos t=\frac{\sqrt3}{2}$$

$$t=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Тогда

$$x=\frac{t}{3}=\pm \frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}$$

На заданном отрезке получаем:

$$x=-\frac{\pi}{18},\ \frac{\pi}{18},\ \frac{11\pi}{18},\ \frac{13\pi}{18},\ \frac{23\pi}{18},\ \frac{25\pi}{18}$$

Ответ

1) $$-\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6}$$

2) $$-\frac{\pi}{18},\ \frac{\pi}{18},\ \frac{11\pi}{18},\ \frac{13\pi}{18},\ \frac{23\pi}{18},\ \frac{25\pi}{18}$$