Упр.707 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) f (х) + f (-х) — чётная функция;
2) f (х) — f (-x) — нечётная функция.

1) Обозначим $$y(x)=f(x)+f(-x).$$ Тогда

$$y(-x)=f(-x)+f(-(-x))=f(-x)+f(x)=f(x)+f(-x)=y(x).$$

Следовательно, $$y(x)$$ — чётная функция.

2) Обозначим $$z(x)=f(x)-f(-x).$$ Тогда

$$z(-x)=f(-x)-f(-(-x))=f(-x)-f(x)=-(f(x)-f(-x))=-z(x).$$

Следовательно, $$z(x)$$ — нечётная функция.

Таким образом, доказано:

$$f(x)+f(-x)$$ — чётная функция, а $$f(x)-f(-x)$$ — нечётная функция.

Ответ

$$f(x)+f(-x)$$ — чётная, $$f(x)-f(-x)$$ — нечётная.