Упр.707 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Пусть функция $$f(x)$$ определена на всей числовой прямой. Доказать, что:
1) $$f(x)+f(-x)$$ — чётная функция;
2) $$f(x)-f(-x)$$ — нечётная функция.

Пусть $$y_1(x)=f(x)+f(-x).$$ Тогда

$$y_1(-x)=f(-x)+f(-(-x))=f(-x)+f(x)=y_1(x).$$

Следовательно, $$y_1(x)$$ — чётная функция.

Пусть $$y_2(x)=f(x)-f(-x).$$ Тогда

$$y_2(-x)=f(-x)-f(-(-x))=f(-x)-f(x)=-\bigl(f(x)-f(-x)\bigr)=-y_2(x).$$

Следовательно, $$y_2(x)$$ — нечётная функция.

Ответ: $$f(x)+f(-x)$$ — чётная функция, $$f(x)-f(-x)$$ — нечётная функция.