Упр.703 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Доказать, что функция $$y=f(x)$$ периодом $$T$$, если:

1. $$y=\sin 2x,\quad T=\pi$$;
2. $$y=\cos\frac{x}{2},\quad T=4\pi$$;
3. $$y=\mathrm{tg}\,2x,\quad T=\frac{\pi}{2}$$;
4. $$y=\sin\frac{4x}{5},\quad T=\frac{5\pi}{2}$$.

1) $$y=\sin 2x,\quad T=\pi.$$

$$y(x+T)=\sin 2(x+\pi)=\sin(2x+2\pi)=\sin 2x=y(x).$$

Следовательно, функция периодична с периодом $$\pi$$.

2) $$y=\cos \frac{x}{2},\quad T=4\pi.$$

$$y(x+T)=\cos \frac{x+4\pi}{2}=\cos\left(\frac{x}{2}+2\pi\right)=\cos \frac{x}{2}=y(x).$$

Следовательно, функция периодична с периодом $$4\pi$$.

3) $$y=\tg 2x,\quad T=\frac{\pi}{2}.$$

$$y(x+T)=\tg 2\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\tg(2x+\pi)=\tg 2x=y(x).$$

Следовательно, функция периодична с периодом $$\frac{\pi}{2}$$.

4) $$y=\sin \frac{4x}{5},\quad T=\frac{5\pi}{2}.$$

$$y(x+T)=\sin \frac{4}{5}\left(x+\frac{5\pi}{2}\right)=\sin\left(\frac{4x}{5}+2\pi\right)=\sin \frac{4x}{5}=y(x).$$

Следовательно, функция периодична с периодом $$\frac{5\pi}{2}$$.