Упр.702 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Доказать, что функция $$y=f(x)$$ является периодической с периодом $$2\pi$$, если:

1. $$y=\cos x-1$$;
2. $$y=\sin x+1$$;
3. $$y=3\sin x$$;
4. $$y=\frac{\cos x}{2}$$;
5. $$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$;
6. $$y=\cos\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)$$.

Во всех случаях используем периодичность тригонометрических функций:

$$\sin(x+2\pi)=\sin x,\qquad \cos(x+2\pi)=\cos x.$$

1. $$y=\cos x-1$$

   $$y(x+2\pi)=\cos(x+2\pi)-1=\cos x-1=y(x).$$

2. $$y=\sin x+1$$

   $$y(x+2\pi)=\sin(x+2\pi)+1=\sin x+1=y(x).$$

3. $$y=3\sin x$$

   $$y(x+2\pi)=3\sin(x+2\pi)=3\sin x=y(x).$$

4. $$y=\frac{\cos x}{2}$$

   $$y(x+2\pi)=\frac{\cos(x+2\pi)}{2}=\frac{\cos x}{2}=y(x).$$

5. $$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$

   $$y(x+2\pi)=\sin\left(x+2\pi-\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=y(x).$$

6. $$y=\cos\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)$$

   $$y(x+2\pi)=\cos\left(x+2\pi+\frac{2\pi}{3}\right)=\cos\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)=y(x).$$

Во всех случаях $$y(x+2\pi)=y(x)$$, значит, функция периодическая с периодом $$2\pi$$.