Упр.701 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$y=\sin x+x$$
2. $$y=\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)-x^2$$
3. $$y=3-\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\sin(\pi-x)$$
4. $$y=\frac{1}{2}\cos 2x\sin\left(\frac{3\pi}{2}-2x\right)+3$$
5. $$y=\frac{\sin x}{x}+\sin x\cos x$$
6. $$y=x^2+\frac{1+\cos}{2}$$

1) $$y=\sin x+x$$

Найдём $$y(-x)$$:

$$y(-x)=\sin(-x)+(-x)=-\sin x-x=-(\sin x+x)=-y(x).$$

Следовательно, функция нечётная.

2) $$y=\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)-x^2$$

Так как $$\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\sin x,$$ то

$$y=\sin x-x^2.$$

Тогда

$$y(-x)=\sin(-x)-(-x)^2=-\sin x-x^2,$$

и это не равно ни $$y(x),$$ ни $$-y(x).$$

Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.

3) $$y=3-\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\sin(\pi-x)$$

Используем формулы:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x,\qquad \sin(\pi-x)=\sin x.$$

Тогда

$$y=3-(-\sin x)\sin x=3+\sin^2 x.$$

Проверим:

$$y(-x)=3+\sin^2(-x)=3+\sin^2 x=y(x).$$

Следовательно, функция чётная.

4) $$y=\frac12\cos 2x\sin\left(\frac{3\pi}{2}-2x\right)+3$$

Так как

$$\sin\left(\frac{3\pi}{2}-2x\right)=-\cos 2x,$$

то

$$y=\frac12\cos 2x\cdot(-\cos 2x)+3=-\frac12\cos^2 2x+3.$$

Поскольку $$\cos(-2x)=\cos 2x,$$ имеем

$$y(-x)=-\frac12\cos^2(-2x)+3=-\frac12\cos^2 2x+3=y(x).$$

Следовательно, функция чётная.

5) $$y=\frac{\sin x}{x}+\sin x\cos x$$

Область определения: $$x\ne 0.$$

Найдём $$y(-x)$$:

$$y(-x)=\frac{\sin(-x)}{-x}+\sin(-x)\cos(-x)=\frac{\sin x}{x}-\sin x\cos x.$$

Это не равно ни $$y(x),$$ ни $$-y(x).$$

Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.

6) $$y=x^2+\frac{1+\cos x}{2}$$

Проверим:

$$y(-x)=(-x)^2+\frac{1+\cos(-x)}{2}=x^2+\frac{1+\cos x}{2}=y(x).$$

Следовательно, функция чётная.

Ответ: 1) нечётная; 2) ни чётная, ни нечётная; 3) чётная; 4) чётная; 5) ни чётная, ни нечётная; 6) чётная.