Упр.699 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти множество значений функции $$y=10\cos^2 x-6\sin x\cos x+2\sin^2 x$$.

Преобразуем выражение:

$$y=10\cos^2 x-6\sin x\cos x+2\sin^2 x$$

$$y=10\cos^2 x-3\sin 2x+2\sin^2 x$$

$$y=10\cos^2 x-3\sin 2x+2(1-\cos^2 x)$$

$$y=8\cos^2 x-3\sin 2x+2$$

$$y=4(2\cos^2 x-1)-3\sin 2x+6$$

$$y=4\cos 2x-3\sin 2x+6$$

Представим сумму в виде одной тригонометрической функции:

$$4\cos 2x-3\sin 2x=5\cos(2x+\varphi),$$

где

$$\cos\varphi=\frac45,\qquad \sin\varphi=\frac35.$$

Тогда

$$y=5\cos(2x+\varphi)+6.$$

Так как $$-1\le \cos(2x+\varphi)\le 1,$$ то

$$-5\le 5\cos(2x+\varphi)\le 5,$$

следовательно,

$$1\le y\le 11.$$

Ответ: $$E(y)=[1;11].$$