Упр.699 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

у = 10 cos2 х — 6 sin х cos х + 2 sin2 х.

Преобразуем выражение:

$$ y=10\cos^2 x-6\sin x\cos x+2\sin^2 x $$
$$ y=10\cos^2 x-3\sin 2x+2\sin^2 x $$
$$ y=10\cos^2 x-3\sin 2x+2(1-\cos^2 x) $$
$$ y=8\cos^2 x-3\sin 2x+2 $$
$$ y=4(2\cos^2 x-1)-3\sin 2x+6 $$
$$ y=4\cos 2x-3\sin 2x+6 $$

Представим выражение $$4\cos 2x-3\sin 2x$$ в виде одной тригонометрической функции:

$$ 4\cos 2x-3\sin 2x=5\cos(2x+\varphi), $$
где
$$ \cos\varphi=\frac45,\qquad \sin\varphi=\frac35. $$

Тогда

$$ y=5\cos(2x+\varphi)+6. $$

Так как

$$ -1\le \cos(2x+\varphi)\le 1, $$
то

$$ 1\le 5\cos(2x+\varphi)+6\le 11. $$

Следовательно, множество значений функции:

$$ E(y)=[1;11]. $$

Ответ

$$ [1;11] $$