Упр.698 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 698 Найти множество значений функции у = sin х — 5 cos х. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 698 1111

Подробный ответ

Преобразуем выражение:

$$y=\sin x-5\cos x.$$

Представим его в виде одной тригонометрической функции. Для этого подберём угол $$\varphi$$ так, чтобы

$$\cos \varphi=\frac{1}{\sqrt{26}}, \qquad \sin \varphi=\frac{5}{\sqrt{26}}.$$

Тогда

$$ \sin x-5\cos x =\sqrt{26}\left(\frac{1}{\sqrt{26}}\sin x-\frac{5}{\sqrt{26}}\cos x\right) =\sqrt{26}\,(\cos\varphi\sin x-\sin\varphi\cos x) =\sqrt{26}\sin(x-\varphi). $$

Так как

$$-1\le \sin(x-\varphi)\le 1,$$

то

$$-\sqrt{26}\le \sqrt{26}\sin(x-\varphi)\le \sqrt{26}.$$

Следовательно, множество значений функции:

$$y\in[-\sqrt{26};\sqrt{26}].$$