Упр.697 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $$y=3\cos 2x-4\sin 2x$$.

Представим выражение в виде одной тригонометрической функции:

$$3\cos 2x-4\sin 2x=5\left(\frac35\cos 2x-\frac45\sin 2x\right).$$

Подберём угол $$\varphi$$ так, чтобы

$$\cos\varphi=\frac35,\qquad \sin\varphi=\frac45.$$

Тогда

$$3\cos 2x-4\sin 2x=5(\cos\varphi\cos 2x-\sin\varphi\sin 2x)=5\cos(2x+\varphi).$$

Так как

$$-1\le \cos(2x+\varphi)\le 1,$$

то

$$-5\le 5\cos(2x+\varphi)\le 5.$$

Следовательно, наименьшее значение функции равно $$-5$$, а наибольшее — $$5$$.

Ответ: $$y_{\min}=-5,\quad y_{\max}=5.$$