Упр.696 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) у = 2 sin2 х — cos 2х;
2) у = 1-8 cos2 х sin2 х;
3) у = (1+8cos2x)/4;
4) у = 10-9 sin2 Зх;
5) у = 1 — 2 |cos х|;
6) у = sinx + sin(x+пи/3).

1. $$y=2\sin^2 x-\cos 2x=2\sin^2 x-(1-2\sin^2 x)=4\sin^2 x-1.$$
   Так как $$0\le \sin^2 x\le 1,$$ то
   $$ -1\le 4\sin^2 x-1\le 3. $$
   Следовательно, $$E(y)=[-1;3].$$

2. $$ y=1-8\cos^2 x\sin^2 x=1-2\cdot 4\sin^2 x\cos^2 x=1-2\sin^2 2x. $$
   Поскольку $$0\le \sin^2 2x\le 1,$$ получаем
   $$ -1\le 1-2\sin^2 2x\le 1. $$
   Значит, $$E(y)=[-1;1].$$

3. $$ y=\frac{1+8\cos^2 x}{4}. $$
   Так как $$0\le \cos^2 x\le 1,$$ то
   $$ 1\le 1+8\cos^2 x\le 9, $$
   значит,
   $$ \frac14\le \frac{1+8\cos^2 x}{4}\le \frac94. $$
   Следовательно, $$E(y)=\left[\frac14;\frac94\right].$$

4. $$ y=10-9\sin^2 3x. $$
   Поскольку $$0\le \sin^2 3x\le 1,$$ имеем
   $$ 1\le 10-9\sin^2 3x\le 10. $$
   Значит, $$E(y)=[1;10].$$

5. $$ y=1-2|\cos x|. $$
   Так как $$0\le |\cos x|\le 1,$$ то
   $$ -1\le 1-2|\cos x|\le 1. $$
   Следовательно, $$E(y)=[-1;1].$$

6. $$ y=\sin x+\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right) =2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\cos\frac{\pi}{6} =\sqrt3\,\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right). $$
   Так как $$-1\le \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\le 1,$$ получаем
   $$ -\sqrt3\le \sqrt3\,\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\le \sqrt3. $$
   Значит, $$E(y)=[-\sqrt3;\sqrt3].$$

Ответ

1) $$[-1;3]$$; 2) $$[-1;1]$$; 3) $$\left[\frac14;\frac94\right]$$; 4) $$[1;10]$$; 5) $$[-1;1]$$; 6) $$[-\sqrt3;\sqrt3]$$.