Упр.695 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$y=\frac{1}{2\sin 2x-\sin x}$$
2. $$y=\frac{2}{\cos 2x-\sin 2x}$$
3. $$y=\frac{1}{\sin x-\sin 3x}$$
4. $$y=\frac{1}{\cos 3x+\cos}$$

1) $$y=\frac{1}{2\sin^2 x-\sin x}$$

Найдём область определения. Знаменатель не должен обращаться в нуль:

$$2\sin^2 x-\sin x\ne 0$$

$$\sin x(2\sin x-1)\ne 0$$

Отсюда:

$$\sin x\ne 0 \quad \Rightarrow \quad x\ne \pi n,\; n\in \mathbb Z$$

и

$$2\sin x-1\ne 0 \quad \Rightarrow \quad \sin x\ne \frac12 \quad \Rightarrow \quad x\ne (-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in \mathbb Z$$

Ответ: $$x\ne \pi n,\; x\ne (-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$

2) $$y=\frac{2}{\cos^2 x-\sin^2 x}$$

Знаменатель преобразуем:

$$\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x$$

Тогда

$$\cos 2x\ne 0$$

$$2x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb Z$$

$$x\ne \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; n\in \mathbb Z$$

Ответ: $$x\ne \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; n\in \mathbb Z.$$

3) $$y=\frac{1}{\sin x-\sin 3x}$$

Преобразуем знаменатель:

$$\sin x-\sin 3x=2\cos\frac{x+3x}{2}\sin\frac{x-3x}{2}=-2\sin x\cos 2x$$

Следовательно,

$$-2\sin x\cos 2x\ne 0$$

То есть

$$\sin x\ne 0 \quad \Rightarrow \quad x\ne \pi n,\; n\in \mathbb Z$$

и

$$\cos 2x\ne 0 \quad \Rightarrow \quad 2x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb Z$$

$$x\ne \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; n\in \mathbb Z$$

Ответ: $$x\ne \pi n,\; x\ne \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; n\in \mathbb Z.$$

4) $$y=\frac{1}{\cos^3 x+\cos x}$$

Преобразуем знаменатель:

$$\cos^3 x+\cos x=\cos x(1+\cos^2 x)$$

Так как $$1+\cos^2 x>0$$ при любом $$x$$, то знаменатель обращается в нуль только при

$$\cos x=0$$

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb Z$$

Ответ: $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$