Упр.692 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) у = 1 + sin х;
2) у = 1 — cos х;
3) у — 2 sinx + 3;
4) y = 1 — 4 cos 2x;
5) у = sin 2x cos 2x + 2;
6) у = 1/2 sin x cos x — 1.

1. $$y=1+\sin x$$

   Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то

   $$0\le 1+\sin x\le 2.$$

   Следовательно, $$E(y)=[0;2].$$

2. $$y=1-\cos x$$

   Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то

   $$0\le 1-\cos x\le 2.$$

   Следовательно, $$E(y)=[0;2].$$

3. $$y=2\sin x+3$$

   Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то

   $$-2\le 2\sin x\le 2.$$

   Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

   $$1\le 2\sin x+3\le 5.$$

   Следовательно, $$E(y)=[1;5].$$

4. $$y=1-4\cos 2x$$

   Так как $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ то

   $$-4\le -4\cos 2x\le 4.$$

   Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

   $$-3\le 1-4\cos 2x\le 5.$$

   Следовательно, $$E(y)=[-3;5].$$

5. $$y=\sin 2x\cos 2x+2$$

   Используем формулу:

   $$\sin 2x\cos 2x=\frac12\sin 4x.$$

   Тогда

   $$y=\frac12\sin 4x+2.$$

   Так как $$-1\le \sin 4x\le 1,$$ то

   $$-\frac12\le \frac12\sin 4x\le \frac12.$$

   Прибавим 2 ко всем частям неравенства:

   $$\frac32\le \frac12\sin 4x+2\le \frac52.$$

   Следовательно, $$E(y)=\left[\frac32;\frac52\right].$$

6. $$y=\frac12\sin x\cos x-1$$

   Используем формулу:

   $$\sin x\cos x=\frac12\sin 2x.$$

   Тогда

   $$y=\frac14\sin 2x-1.$$

   Так как $$-1\le \sin 2x\le 1,$$ то

   $$-\frac14\le \frac14\sin 2x\le \frac14.$$

   Вычтем 1 из всех частей неравенства:

   $$-\frac54\le \frac14\sin 2x-1\le -\frac34.$$

   Следовательно, $$E(y)=\left[-\frac54;-\frac34\right].$$

Ответ

1) $$[0;2]$$; 2) $$[0;2]$$; 3) $$[1;5]$$; 4) $$[-3;5]$$; 5) $$\left[\frac32;\frac52\right]$$; 6) $$\left[-\frac54;-\frac34\right].$$