Упр.691 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти область определения функции:

1. $$y=\sin 2x$$;
2. $$y=\cos \frac{x}{2}$$;
3. $$y=\cos \frac{1}{x}$$;
4. $$y=\sin \frac{2}{x}$$;
5. $$y=\sin\sqrt{x}$$;
6. $$y=\cos\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$$.

Функции $$\sin a$$ и $$\cos a$$ определены при любых значениях аргумента, поэтому ограничения возникают только там, где есть дробь или корень.

1. $$y=\sin 2x$$

   Область определения: $$x\in \mathbb{R}.$$

2. $$y=\cos \frac{x}{2}$$

   Область определения: $$x\in \mathbb{R}.$$

3. $$y=\cos \frac{1}{x}$$

   Выражение $$\frac{1}{x}$$ имеет смысл при $$x\ne 0.$$

   Область определения: $$x\ne 0.$$

4. $$y=\sin \frac{2}{x}$$

   Выражение $$\frac{2}{x}$$ имеет смысл при $$x\ne 0.$$

   Область определения: $$x\ne 0.$$

5. $$y=\sin \sqrt{x}$$

   Корень $$\sqrt{x}$$ определён при $$x\ge 0.$$

   Область определения: $$x\ge 0.$$

6. $$y=\cos \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$$

   Нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным и знаменатель не равнялся нулю:

   $$\frac{x-1}{x+1}\ge 0,\qquad x\ne -1.$$

   Решаем неравенство методом интервалов:

   $$\frac{x-1}{x+1}\ge 0 \;\Rightarrow\; x<-1 \text{ или } x\ge 1.$$

   Область определения: $$(-\infty,-1)\cup[1,+\infty).$$

Ответ: 1) $$x\in\mathbb{R}$$; 2) $$x\in\mathbb{R}$$; 3) $$x\ne 0$$; 4) $$x\ne 0$$; 5) $$x\ge 0$$; 6) $$(-\infty,-1)\cup[1,+\infty).$$