Упр.690 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Решить неравенство:
   1) $$2\cos^2 x+\sin x-1<0$$;
   2) $$2\sin^2 x-5\cos x+1>0$$.

1) $$2\cos^2 x+\sin x-1<0$$

Заменим $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:

$$2(1-\sin^2 x)+\sin x-1<0$$

$$2-2\sin^2 x+\sin x-1<0$$

$$2\sin^2 x-\sin x-1>0$$

Пусть $$y=\sin x$$. Тогда

$$2y^2-y-1>0$$

$$D=1+8=9$$

$$y_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}$$

$$y_1=-\frac12,\quad y_2=1$$

Следовательно,

$$\left(y+\frac12\right)(y-1)>0$$

Отсюда

$$y<-\frac12 \quad \text{или} \quad y>1$$

Так как $$\sin x>1$$ решений не имеет, остаётся

$$\sin x<-\frac12$$

Тогда

$$-\frac{5\pi}{6}+2\pi n<x<-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2) $$2\sin^2 x-5\cos x+1>0$$

Заменим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

$$2(1-\cos^2 x)-5\cos x+1>0$$

$$2-2\cos^2 x-5\cos x+1>0$$

$$2\cos^2 x+5\cos x-3<0$$

Пусть $$y=\cos x$$. Тогда

$$2y^2+5y-3<0$$

$$D=25+24=49$$

$$y_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{4}$$

$$y_1=-3,\quad y_2=\frac12$$

Следовательно,

$$-3<y<\frac12$$

Так как $$\cos x\in[-1;1]$$, получаем

$$\cos x<\frac12$$

Отсюда

$$\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$-\frac{5\pi}{6}+2\pi n<x<-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2) $$\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$