Упр.690 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) 2 cos2 х + sin х — 1 < 0; 2) 2 sin2 x - 5 cos x + 1 > 0.

1. $$2\cos^2 x+\sin x-1<0$$

   Заменим $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:

   $$2(1-\sin^2 x)+\sin x-1<0$$

   $$2\sin^2 x-\sin x-1>0$$

   Пусть $$y=\sin x$$. Тогда получаем:

   $$2y^2-y-1>0$$

   $$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-1)=9$$

   $$y_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}$$

   $$y_1=-\frac12,\quad y_2=1$$

   Следовательно,

   $$\left(y+\frac12\right)(y-1)>0$$

   Отсюда с учётом $$-1\le \sin x\le 1$$ получаем:

   $$\sin x<-\frac12$$

   или $$\sin x>1$$.

   Второе неравенство решений не имеет, поэтому остаётся:

   $$\sin x<-\frac12$$

   Тогда

   $$-\frac{5\pi}{6}+2\pi n<x<-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2. $$2\sin^2 x-5\cos x+1>0$$

   Заменим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

   $$2(1-\cos^2 x)-5\cos x+1>0$$

   $$2\cos^2 x+5\cos x-3<0$$

   Пусть $$y=\cos x$$. Тогда:

   $$2y^2+5y-3<0$$

   $$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-3)=49$$

   $$y_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{4}$$

   $$y_1=-3,\quad y_2=\frac12$$

   Следовательно,

   $$-3<y<\frac12$$

   С учётом $$-1\le \cos x\le 1$$ получаем:

   $$\cos x<\frac12$$

   Тогда

   $$\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$-\frac{5\pi}{6}+2\pi n<x<-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2) $$\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$