Упр.689 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти все значения $$a$$, при которых уравнение $$\sin 2x-2a\sqrt{2}(\sin x+\cos x)+1-6a^2=0$$ имеет корни, и решить это уравнение.

Преобразуем уравнение:

$$\sin 2x-2a\sqrt2(\sin x+\cos x)+1-6a^2=0.$$

Используем формулы:

$$\sin 2x=\cos\left(2x-\frac{\pi}{2}\right), \qquad \sin x+\cos x=\sqrt2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\cos\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)-4a\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1-6a^2=0.$$

Так как

$$1+\cos\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)=2\cos^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right),$$

получаем

$$2\cos^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-4a\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-6a^2=0.$$

Сделаем замену:

$$y=\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$2y^2-4ay-6a^2=0,$$

или

$$y^2-2ay-3a^2=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=4a^2+12a^2=16a^2,$$

$$y_{1,2}=\frac{2a\pm 4|a|}{2}.$$

Отсюда корни:

$$y_1=-a,\qquad y_2=3a.$$

Чтобы уравнение имело решения, нужно, чтобы хотя бы одно из чисел $$-a$$ или $$3a$$ принадлежало отрезку $$[-1;1]$$.

Это возможно при

$$-1\le -a\le 1 \quad \text{или} \quad -1\le 3a\le 1.$$

Получаем:

$$-1\le a\le 1 \quad \text{и} \quad -\frac13\le a\le \frac13.$$

Значит, уравнение имеет корни при

$$-1\le a\le 1.$$

Теперь запишем решения.

1) Если $$-\frac13\le a\le \frac13,$$ то оба значения $$-a$$ и $$3a$$ лежат в $$[-1;1]$$, и тогда

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-a \quad \text{или} \quad \cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=3a.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{4}\pm \arccos(-a)+2\pi k,$$

или

$$x=\frac{\pi}{4}\pm \arccos(3a)+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

2) Если $$-\!1\le a<-\frac13$$ или $$\frac13<a\le 1,$$ то только число $$-a$$ принадлежит отрезку $$[-1;1]$$, и решения имеют вид

$$x=\frac{\pi}{4}\pm \arccos(-a)+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Ответ: уравнение имеет корни при $$-1\le a\le 1$$. При этом

$$\begin{cases} -\frac13\le a\le \frac13: & x=\frac{\pi}{4}\pm \arccos(-a)+2\pi k,\; x=\frac{\pi}{4}\pm \arccos(3a)+2\pi k, \; k\in\mathbb Z,\\[4pt] -\!1\le a<-\frac13 \text{ или } \frac13<a\le 1: & x=\frac{\pi}{4}\pm \arccos(-a)+2\pi k,\; k\in\mathbb Z. \end{cases}$$