Упр.688 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти все значения $$a$$, при которых уравнение $$\sin^{10} x+\cos^{10} x=a$$ имеет корни.

Преобразуем левую часть:

$$\sin^{10}x+\cos^{10}x=(\sin^2x)^5+(\cos^2x)^5.$$

Используем формулы

$$\sin^2x=\frac{1-\cos 2x}{2}, \qquad \cos^2x=\frac{1+\cos 2x}{2}.$$

Тогда

$$\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)^5+\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)^5=a,$$

$$\frac{(1-\cos 2x)^5+(1+\cos 2x)^5}{32}=a.$$

Раскроем скобки:

$$\frac{2+20\cos^2 2x+10\cos^4 2x}{32}=a,$$

$$10\cos^4 2x+20\cos^2 2x+2-32a=0.$$

Сделаем замену:

$$y=\cos^2 2x.$$

Получим квадратное уравнение

$$5y^2+10y+(1-16a)=0.$$

Его дискриминант:

$$D=10^2-4\cdot 5\cdot(1-16a)=80+320a.$$

Тогда

$$y=-1\pm \frac{\sqrt{320a+80}}{10}.$$

Так как $$y=\cos^2 2x,$$ то должно выполняться

$$0\le y\le 1.$$

Подходит только корень

$$y=-1+\frac{\sqrt{320a+80}}{10}.$$

Требуем:

$$0\le -1+\frac{\sqrt{320a+80}}{10}\le 1.$$

Отсюда

$$1\le \frac{\sqrt{320a+80}}{10}\le 2,$$

$$10\le \sqrt{320a+80}\le 20,$$

$$100\le 320a+80\le 400,$$

$$20\le 320a\le 320,$$

$$\frac{1}{16}\le a\le 1.$$

Ответ: $$\frac{1}{16}\le a\le 1.$$