Упр.686 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\left\{\begin{aligned} \frac{\sin x}{\sin y}&=\frac{5}{3},\\ \frac{\cos x}{\cos y}&=\frac{1}{3} \end{aligned}\right.$$
2. $$\left\{\begin{aligned} \sin x\cos y&=\frac{1}{2},\\ \cos x\sin y&=-\frac{1}{2} \end{aligned}\right.$$

1) Из данных уравнений получим

$$\frac{\sin x}{\sin y}+\frac{\cos x}{\cos y}=\frac53+\frac13=2.$$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{\sin x\cos y+\cos x\sin y}{\sin y\cos y}=2.$$

Тогда

$$\frac{\sin(x+y)}{\sin y\cos y}=2.$$

Умножим на $$\sin y\cos y$$ и воспользуемся формулой $$\sin 2y=2\sin y\cos y$$:

$$\sin(x+y)=2\sin y\cos y=\sin 2y.$$

Следовательно,

$$\sin(x+y)-\sin 2y=0.$$

По формуле разности синусов:

$$2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+3y}{2}=0.$$

Отсюда

$$\sin\frac{x-y}{2}=0$$

или

$$\cos\frac{x+3y}{2}=0.$$

Если $$\sin\frac{x-y}{2}=0$$, то $$x=y+2\pi n$$. Подстановка в первое уравнение даёт

$$\frac{\sin(y+2\pi n)}{\sin y}=1\neq \frac53,$$

то есть этот случай не подходит.

Если $$\cos\frac{x+3y}{2}=0$$, то

$$x+3y=\pi+2\pi n,$$

то есть

$$x=\pi+2\pi n-3y.$$

Подставим в первое уравнение:

$$\frac{\sin(\pi+2\pi n-3y)}{\sin y}=\frac53.$$

Так как $$\sin(\pi-3y)=\sin 3y$$, получаем

$$\frac{\sin 3y}{\sin y}=\frac53.$$

Используем формулу $$\sin 3y=3\sin y-4\sin^3 y$$:

$$\frac{3\sin y-4\sin^3 y}{\sin y}=\frac53,$$

$$3-4\sin^2 y=\frac53,$$

$$4\sin^2 y=\frac43,$$

$$\sin^2 y=\frac13.$$

Значит,

$$\sin y=\pm \frac1{\sqrt3},$$

откуда

$$y=(-1)^n\arcsin\frac1{\sqrt3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$x=\pi+2\pi n-3y.$$

Итак,

$$x=\pi\pm 3\arcsin\frac1{\sqrt3}+\pi(2n-k),\quad y=\pm \arcsin\frac1{\sqrt3}+\pi k,\quad n,k\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$x=\pi\pm 3\arcsin\frac1{\sqrt3}+\pi(2n-k),\quad y=\pm \arcsin\frac1{\sqrt3}+\pi k,\quad n,k\in\mathbb Z.$$

2) Сложим и вычтем уравнения системы:

$$\sin x\cos y+\cos x\sin y=\frac12-\frac12=0,$$

$$\sin x\cos y-\cos x\sin y=\frac12+\frac12=1.$$

Получаем

$$\sin(x+y)=0,$$

$$\sin(x-y)=1.$$

Из первого уравнения:

$$x+y=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Из второго:

$$x-y=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} x+y=\pi n,\\ x-y=\frac{\pi}{2}+2\pi k. \end{cases}$$

Складывая уравнения, получаем

$$2x=\pi n+\frac{\pi}{2}+2\pi k,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi k+\frac{\pi n}{2}.$$

Вычитая второе уравнение из первого, получаем

$$2y=\pi n-\frac{\pi}{2}-2\pi k,$$

$$y=-\frac{\pi}{4}-\pi k+\frac{\pi n}{2}.$$

Ответ

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi k+\frac{\pi n}{2},\quad y=-\frac{\pi}{4}-\pi k+\frac{\pi n}{2},\quad k,n\in\mathbb Z.$$