Упр.685 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

685. Решить систему уравнений:

     1) $$\begin{cases}\sin y\cos y=\frac{1}{2},\\ \sin 2x+\sin 2y=0;\end{cases}$$

     2) $$\begin{cases}\sin x+\sin y=1,\\ \cos x-\cos y=\sqrt{3}.\end{cases}$$

1) Используем формулу $$\sin 2y=2\sin y\cos y.$$ Тогда из первого уравнения получаем

$$2\sin y\cos y=\frac12 \;\Rightarrow\; \sin 2y=1.$$

Система принимает вид

$$\begin{cases} \sin 2x=-1,\\ \sin 2y=1. \end{cases}$$

Отсюда

$$2x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

$$2y=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad y=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad n,k\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad y=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad n,k\in\mathbb Z.$$

2) Преобразуем суммы и разности синусов:

$$\begin{cases} 2\sin \dfrac{x+y}{2}\cos \dfrac{x-y}{2}=1,\\ -2\sin \dfrac{x+y}{2}\sin \dfrac{x-y}{2}=\sqrt3. \end{cases}$$

Так как первое уравнение не равно нулю, делим второе на первое:

$$-\tg \dfrac{x-y}{2}=\sqrt3,$$

откуда

$$\tg \dfrac{x-y}{2}=-\sqrt3,$$

$$\dfrac{x-y}{2}=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad x-y=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$x=y-\frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$

Подставим в первое уравнение:

$$\sin\left(y-\frac{2\pi}{3}\right)+\sin y=1.$$

Раскроем синус разности:

$$\sin y\cos \frac{2\pi}{3}-\cos y\sin \frac{2\pi}{3}+\sin y=1,$$

$$-\frac12\sin y-\frac{\sqrt3}{2}\cos y+\sin y=1,$$

$$\frac12\sin y-\frac{\sqrt3}{2}\cos y=1.$$

Это равно

$$\sin\left(y-\frac{\pi}{3}\right)=1.$$

Значит,

$$y-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad y=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$x=\frac{5\pi}{6}-\frac{2\pi}{3}+2\pi n=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Итак,

$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad y=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad n,k\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad y=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad n,k\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad y=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad n,k\in\mathbb Z.$$