Упр.684 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 684 |cos x} — cos3x = sin2x.

Рассмотрим уравнение $$|\cos x|-\cos 3x=\sin 2x.$$

Разберём два случая.

1) Если $$\cos x<0$$, то $$|\cos x|=-\cos x$$, и уравнение принимает вид

$$-\cos x-\cos 3x=\sin 2x.$$

Используем формулу суммы косинусов:

$$-\bigl(\cos x+\cos 3x\bigr)=\sin 2x,$$

$$-2\cos 2x\cos x=\sin 2x.$$

Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ получаем

$$-2\cos x\cos 2x-2\sin x\cos x=0,$$

$$-2\cos x(\cos 2x+\sin x)=0.$$

Следовательно,

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x+\sin x=0.$$

1. $$\cos x=0$$, тогда

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\cos 2x+\sin x=0.$$ Подставим $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:

$$1-2\sin^2 x+\sin x=0,$$

$$2\sin^2 x-\sin x-1=0.$$

Пусть $$y=\sin x$$. Тогда

$$2y^2-y-1=0,$$

$$D=1+8=9,$$

$$y_1=\frac{1-3}{4}=-\frac12,\qquad y_2=\frac{1+3}{4}=1.$$

Получаем:

$$\sin x=-\frac12 \quad \text{или} \quad \sin x=1.$$

Отсюда

$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

или

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Если $$\cos x>0$$, то $$|\cos x|=\cos x$$, и

$$\cos x-\cos 3x=\sin 2x.$$

По формуле разности косинусов:

$$-2\sin 2x\sin(-x)=\sin 2x,$$

то есть

$$2\sin 2x\sin x=\sin 2x,$$

$$\sin 2x(2\sin x-1)=0.$$

Следовательно,

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac12.$$

1. $$\sin 2x=0,$$ тогда

$$2x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

С учётом условия $$\cos x>0$$ остаются значения

$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sin x=\frac12,$$ тогда

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

С учётом $$\cos x>0$$ получаем

$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Объединяя все найденные решения, получаем:

$$x=2\pi n,\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$x=2\pi n,\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$