Упр.683 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 683 корень (-4cosxcos2x) = корень (7sin2x).

Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{-4\cos x\cdot \cos 2x}=\sqrt{7\sin 2x}.$$

Так как подкоренные выражения должны быть неотрицательны, получаем систему:

$$ \begin{cases} -4\cos x\cdot \cos 2x \ge 0,\\ 7\sin 2x \ge 0. \end{cases} $$

Возведём обе части в квадрат:

$$-4\cos x\cdot \cos 2x=7\sin 2x.$$

Используем формулы $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$ и $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$ -4\cos x(\cos^2 x-\sin^2 x)=14\sin x\cos x. $$

Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:

$$ -4\cos x(\cos^2 x-\sin^2 x)-14\sin x\cos x=0, $$

$$ -2\cos x\,(2-4\sin^2 x+7\sin x)=0. $$

Отсюда

$$\cos x=0$$

или

$$2-4\sin^2 x+7\sin x=0.$$

Решим квадратное уравнение относительно $$y=\sin x$$:

$$ 4y^2-7y-2=0. $$

$$ D=49+32=81, $$

$$ y_{1,2}=\frac{7\pm 9}{8}. $$

Получаем:

$$y_1=2,\qquad y_2=-\frac14.$$

Значение $$y_1=2$$ не подходит, так как $$|\sin x|\le 1$$. Значит, остаётся

$$\sin x=-\frac14.$$

Теперь учтём условие неотрицательности подкоренных выражений. При $$\sin x=-\frac14$$ из уравнения

$$-4\cos x\cdot \cos 2x=7\sin 2x$$

получаем допустимые решения, удовлетворяющие исходному уравнению:

$$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n $$

и

$$ x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac14+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$

Но при проверке исходного уравнения остаются только решения, для которых подкоренные выражения неотрицательны, то есть

$$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n $$

и

$$ x=\pi+\arcsin\frac{\sqrt{65}-7}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\pi+\arcsin\frac{\sqrt{65}-7}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$