Упр.682 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 682 cos2 x + cos2 2x + cos2 3x=3/2.

Преобразуем левую часть, используя формулу $$\cos^2 t=\frac{1+\cos 2t}{2}$$:

$$ \cos^2 x+\cos^2 2x+\cos^2 3x=\frac{3}{2} $$
$$ \frac{1+\cos 2x}{2}+\frac{1+\cos 4x}{2}+\frac{1+\cos 6x}{2}=\frac{3}{2} $$
$$ \cos 2x+\cos 4x+\cos 6x=0 $$

Сгруппируем слагаемые:

$$ \cos 2x+\cos 6x=-2\cos 4x\cos 2x $$

Тогда

$$ -2\cos 4x\cos 2x+\cos 4x=0 $$
$$ \cos 4x(1-2\cos 2x)=0 $$

Отсюда получаем два случая.

1) $$\cos 4x=0$$

$$ 4x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$
$$ x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4} $$

2) $$1-2\cos 2x=0$$

$$ \cos 2x=\frac12 $$
$$ 2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$
$$ x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n $$

Ответ

$$ x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\quad x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$