Упр.681 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sin 2x+\cos 2x=2\operatorname{tg}x+1$$
2. $$\sin 2x-\cos 2x=\operatorname{tg}x$$

1) Преобразуем уравнение:

$$\sin 2x+\cos 2x=2\tg x+1$$

$$2\sin x\cos x+\cos^2 x-\sin^2 x=2\tg x+1$$

$$2\sin x\cos x+(1-\sin^2 x)-\sin^2 x-2\tg x-1=0$$

$$2\sin x\cos x-2\sin^2 x-\frac{2\sin x}{\cos x}=0$$

$$2\sin x\left(\cos x-\sin x-\frac{1}{\cos x}\right)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0$$

или

$$\cos x-\sin x-\frac{1}{\cos x}=0$$

Умножим второе уравнение на $$\cos x$$:

$$\cos^2 x-\sin x\cos x-1=0$$

$$-\tg x-\tg^2 x=0$$

$$\tg x(\tg x+1)=0$$

Тогда

$$\tg x=0 \quad \text{или} \quad \tg x=-1$$

Следовательно,

$$x=\pi n$$

или

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2) Преобразуем уравнение:

$$\sin 2x-\cos 2x=\tg x$$

$$2\sin x\cos x-(\cos^2 x-\sin^2 x)=\tg x$$

$$2\sin x\cos x-1+2\sin^2 x-\frac{\sin x}{\cos x}=0$$

Умножим на $$\cos x$$:

$$2\sin x\cos^2 x-\cos x+2\sin^2 x\cos x-\sin x=0$$

$$2\sin x\cos x(\cos x+\sin x)-(\cos x+\sin x)=0$$

$$(\cos x+\sin x)(2\sin x\cos x-1)=0$$

$$(\cos x+\sin x)(\sin 2x-1)=0$$

Отсюда:

$$\cos x+\sin x=0$$

или

$$\sin 2x=1$$

Первое уравнение даёт:

$$\tg x=-1$$

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Второе уравнение даёт:

$$2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Итак,

$$x=\pm\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$