Упр.680 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$2\cos 3x=3\sin x+\cos x$$
2. $$\cos 3x-\cos 2x=\sin 3x$$

1) $$2\cos 3x=3\sin x+\cos x$$

Преобразуем левую часть:

$$2(\cos 3x+\cos x)=3(\sin x+\cos x);$$

$$4\cos 2x\cos x=3(\sin x+\cos x);$$

$$4(\cos^2 x-\sin^2 x)\cos x=3(\sin x+\cos x);$$

$$4(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)\cos x-3(\sin x+\cos x)=0;$$

$$(\sin x+\cos x)(4\cos^2 x-4\sin x\cos x-3)=0.$$

Отсюда:

$$\sin x+\cos x=0$$

или

$$4\cos^2 x-4\sin x\cos x-3=0.$$

Второе уравнение разделим на $$\cos^2 x$$:

$$4-4\tan x-3\tan^2 x=0,$$

$$3\tan^2 x+4\tan x-4=0.$$

Пусть $$t=\tan x$$. Тогда

$$3t^2+4t-4=0,$$

$$D=4^2-4\cdot 3\cdot(-4)=16+48=64,$$

$$t_{1,2}=\frac{-4\pm 8}{6}.$$

Получаем:

$$t_1=-2,\qquad t_2=\frac23.$$

Тогда

$$\tan x=-1 \;\Rightarrow\; x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

$$\tan x=-2 \;\Rightarrow\; x=-\arctan 2+\pi n,$$

$$\tan x=\frac23 \;\Rightarrow\; x=\arctan\frac23+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\cos 3x-\cos 2x=\sin 3x$$

Используем формулы тройного угла:

$$4\cos^3 x-3\cos x-(2\cos^2 x-1)=3\sin x-4\sin^3 x.$$

После преобразований получаем:

$$\bigl(\sin x+\cos x\bigr)\bigl(2\cos^2 x-2\sin x\cos x-1\bigr)=0.$$

Значит, либо

$$\sin x+\cos x=0,$$

либо

$$2\cos^2 x-2\sin x\cos x-1=0.$$

Первое уравнение даёт:

$$\tan x=-1 \;\Rightarrow\; x=-\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

Во втором случае разделим на $$\cos^2 x$$:

$$2-2\tan x-\tan^2 x=0,$$

$$\tan^2 x+2\tan x-2=0.$$

Пусть $$t=\tan x$$. Тогда

$$t^2+2t-2=0,$$

$$D=4+8=12,$$

$$t=-1\pm\sqrt3.$$

Следовательно,

$$x=\arctan(-1+\sqrt3)+\pi n,$$

$$x=\arctan(-1-\sqrt3)+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n;\quad x=-\arctan 2+\pi n;\quad x=\arctan\frac23+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n;\quad x=\arctan(-1+\sqrt3)+\pi n;\quad x=\arctan(-1-\sqrt3)+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$