Упр.680 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) cos3x — cos 2x = sin 3x.

1. $$2\cos 3x=3\sin x+\cos x$$

   Перенесём всё в одну сторону и используем формулу $$\cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x$$:

   $$2\cos 3x+\cos x=3\sin x+\cos x$$

   $$2\cos 3x=3(\sin x+\cos x)$$

   $$2(4\cos^3 x-3\cos x)=3(\sin x+\cos x)$$

   $$8\cos^3 x-6\cos x-3\sin x-3\cos x=0$$

   $$8\cos^3 x-9\cos x-3\sin x=0$$

   Удобнее сгруппировать исходное уравнение так:

   $$2(\cos 3x+\cos x)=3(\sin x+\cos x)$$

   $$4\cos 2x\cos x=3(\sin x+\cos x)$$

   $$4(\cos^2 x-\sin^2 x)\cos x=3(\sin x+\cos x)$$

   $$4(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)\cos x-3(\sin x+\cos x)=0$$

   $$\bigl(\sin x+\cos x\bigr)\bigl(4\cos^2 x-4\sin x\cos x-3\bigr)=0$$

   Отсюда:

   $$\sin x+\cos x=0$$

   или

   $$4\cos^2 x-4\sin x\cos x-3=0$$

   Делим второе уравнение на $$\cos^2 x$$:

   $$4-4\tan x-3\tan^2 x=0$$

   $$3\tan^2 x+4\tan x-4=0$$

   Пусть $$t=\tan x$$. Тогда

   $$3t^2+4t-4=0$$

   $$D=4^2-4\cdot 3\cdot(-4)=16+48=64$$

   $$t_{1,2}=\frac{-4\pm 8}{6}$$

   $$t_1=-2,\qquad t_2=\frac23$$

   Следовательно,

   $$\tan x=-1,\qquad \tan x=-2,\qquad \tan x=\frac23.$$

   Тогда

   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad x=-\arctg 2+\pi n,\qquad x=\arctg\frac23+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\cos 3x-\cos 2x=\sin 3x$$

   Используем формулы тройного угла:

   $$4\cos^3 x-3\cos x-(2\cos^2 x-1)=3\sin x-4\sin^3 x$$

   $$4\cos^3 x-3\cos x-2\cos^2 x+1-3\sin x+4\sin^3 x=0$$

   Сгруппируем и преобразуем:

   $$4(\cos^3 x+\sin^3 x)-3(\cos x+\sin x)-(\cos 2x)=0$$

   $$4(\cos x+\sin x)(1-\sin x\cos x)-3(\cos x+\sin x)-(\cos^2 x-\sin^2 x)=0$$

   $$\bigl(\cos x+\sin x\bigr)\bigl(4-4\sin x\cos x-3-(\cos x-\sin x)\bigr)=0$$

   Отсюда:

   $$\cos x+\sin x=0$$

   или

   $$4-4\sin x\cos x-3-(\cos x-\sin x)=0.$$

   После преобразований получаем уравнение относительно $$y=\cos x-\sin x$$:

   $$2y^2-y-1=0$$

   $$D=1+8=9$$

   $$y_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}$$

   $$y_1=-\frac12,\qquad y_2=1.$$

   Рассмотрим случаи:

   1) $$\cos x+\sin x=0$$, тогда

   $$\tan x=-1$$

   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

   2) $$\cos x-\sin x=-\frac12$$, тогда

   $$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{4}$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

   3) $$\cos x-\sin x=1$$, тогда

   $$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt2}$$

   $$x=\frac{\pi}{4}-(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

   Это даёт два семейства решений:

   $$x=2\pi n,\qquad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n;\quad x=-\arctg 2+\pi n;\quad x=\arctg\frac23+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n;\quad x=\frac{\pi}{4}+(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{4}+\pi n;\quad x=2\pi n;\quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$