Упр.678 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

678. Решить уравнение:
     
     1) $$\frac{\sin 2x}{\sin x}=0$$;
     
     2) $$\frac{\sin 3x}{\sin x}=0$$;
     
     3) $$\frac{\cos 2x}{\cos x}=0$$;
     
     4) $$\frac{\cos 3x}{\cos x}=0$$;
     
     5) $$\frac{\sin x}{\sin 5x}=0$$;
     
     6) $$\frac{\cos x}{\cos 7x}=0$$.

1) $$\frac{\sin 2x}{\sin x}=0$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$\sin 2x=0,\qquad \sin x\ne 0.$$

Из $$\sin 2x=0$$ получаем

$$2x=\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

то есть

$$x=\frac{\pi n}{2}.$$

Условие $$\sin x\ne 0$$ исключает значения $$x=\pi n$$, поэтому остаются только нечётные значения $$n$$:

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\frac{\sin 3x}{\sin x}=0$$

$$\sin 3x=0,\qquad \sin x\ne 0.$$

Тогда

$$3x=\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=\frac{\pi n}{3}.$$

Исключаем значения, при которых $$\sin x=0$$, то есть $$x=\pi n$$. Значит, нужно отбросить случаи, когда $$n$$ кратно 3. Остаются решения

$$x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3},\qquad n\in\mathbb Z.$$

3) $$\frac{\cos 2x}{\cos x}=0$$

$$\cos 2x=0,\qquad \cos x\ne 0.$$

Из $$\cos 2x=0$$ имеем

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

значит

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

При этих значениях $$\cos x\ne 0$$, поэтому все найденные значения подходят:

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$

4) $$\frac{\cos 3x}{\cos x}=0$$

$$\cos 3x=0,\qquad \cos x\ne 0.$$

Тогда

$$3x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}.$$

Проверка показывает, что при этих значениях $$\cos x\ne 0$$, значит все они являются решениями:

$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\qquad n\in\mathbb Z.$$

5) $$\frac{\sin x}{\sin 5x}=0$$

Нужно, чтобы

$$\sin x=0,\qquad \sin 5x\ne 0.$$

Из $$\sin x=0$$ получаем

$$x=\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Но тогда

$$\sin 5x=\sin 5\pi n=0,$$

что противоречит условию $$\sin 5x\ne 0$$. Следовательно, решений нет.

6) $$\frac{\cos x}{\cos 7x}=0$$

Нужно, чтобы

$$\cos x=0,\qquad \cos 7x\ne 0.$$

Из $$\cos x=0$$ имеем

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$\cos 7x=\cos\left(7\cdot\left(\frac{\pi}{2}+\pi n\right)\right)=\cos\left(\frac{7\pi}{2}+7\pi n\right)=0,$$

что противоречит условию $$\cos 7x\ne 0$$. Значит, решений нет.

Ответ:

1) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; 2) $$x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$; 3) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$; 4) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$; 5) решений нет; 6) решений нет.