Упр.678 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

678 1) sin2x/sinx =0;
2) sin3x/sinx =0;
3) cos2x/cosx =0;
4) cos3x/cosx =0;
5) sinx/sin5x =0;
6) cosx/cos7x =0.

1. $$\frac{\sin 2x}{\sin x}=0$$

   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

   $$\sin 2x=0,\qquad \sin x\ne 0.$$

   Из $$\sin 2x=0$$ получаем:

   $$2x=\pi n,\qquad n\in \mathbb Z,$$
   $$x=\frac{\pi n}{2}.$$

   Условие $$\sin x\ne 0$$ исключает значения $$x=\pi n$$, то есть остаются только нечётные значения $$n$$.

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in \mathbb Z.$$

2. $$\frac{\sin 3x}{\sin x}=0$$

   Тогда

   $$\sin 3x=0,\qquad \sin x\ne 0.$$

   Из $$\sin 3x=0$$:

   $$3x=\pi n,\qquad n\in \mathbb Z,$$
   $$x=\frac{\pi n}{3}.$$

   Исключаем значения, при которых $$\sin x=0$$, то есть $$x=\pi k$$. Это происходит при $$n=3k$$.

   $$x=\frac{\pi n}{3},\qquad n\in \mathbb Z,\quad n\ne 3k.$$

3. $$\frac{\cos 2x}{\cos x}=0$$

   Получаем систему:

   $$\cos 2x=0,\qquad \cos x\ne 0.$$

   Из $$\cos 2x=0$$:

   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in \mathbb Z,$$
   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

   При этих значениях $$\cos x\ne 0$$, поэтому все найденные решения подходят.

   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in \mathbb Z.$$

4. $$\frac{\cos 3x}{\cos x}=0$$

   Тогда

   $$\cos 3x=0,\qquad \cos x\ne 0.$$

   Из $$\cos 3x=0$$:

   $$3x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in \mathbb Z,$$
   $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}.$$

   При этом условие $$\cos x\ne 0$$ выполняется не для всех найденных значений, поэтому оставляем только те, которые не обращают знаменатель в нуль:

   $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in \mathbb Z.$$

5. $$\frac{\sin x}{\sin 5x}=0$$

   Нужно, чтобы

   $$\sin x=0,\qquad \sin 5x\ne 0.$$

   Из $$\sin x=0$$:

   $$x=\pi n,\qquad n\in \mathbb Z.$$

   Но тогда

   $$\sin 5x=\sin 5\pi n=0,$$

   что противоречит условию $$\sin 5x\ne 0$$. Следовательно, решений нет.

6. $$\frac{\cos x}{\cos 7x}=0$$

   Получаем:

   $$\cos x=0,\qquad \cos 7x\ne 0.$$

   Из $$\cos x=0$$:

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in \mathbb Z.$$

   Тогда

   $$\cos 7x=\cos\left(7\cdot \left(\frac{\pi}{2}+\pi n\right)\right)=0,$$

   то есть знаменатель обращается в нуль. Значит, решений нет.

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in \mathbb Z$$

2) $$x=\frac{\pi n}{3},\ n\in \mathbb Z,\ n\ne 3k$$

3) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in \mathbb Z$$

4) $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in \mathbb Z$$

5) решений нет

6) решений нет