Упр.675 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) cos x — cos Sx = cos 2x — cos 4x.

1. $$\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0$$

   Используем формулу суммы синусов:

   $$\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x$$

   Тогда

   $$2\sin 2x\cos x+\sin 2x=0$$

   $$\sin 2x(2\cos x+1)=0$$

   Отсюда:

   $$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x+1=0$$

   1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}, \; n\in\mathbb Z$$

   2) $$2\cos x+1=0 \Rightarrow \cos x=-\frac12$$

   $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

2. $$\cos x-\cos 3x=\cos 2x-\cos 4x$$

   Перенесём всё в одну сторону и применим формулу разности косинусов:

   $$\cos x-\cos 3x-\cos 2x+\cos 4x=0$$

   $$-2\sin 2x\sin(-x)-2\sin 3x\sin(-x)=0$$

   $$2\sin x(\sin 2x-\sin 3x)=0$$

   $$2\sin x\cdot 2\cos\frac{5x}{2}\sin\left(-\frac{x}{2}\right)=0$$

   $$\sin x\cdot \sin\frac{x}{2}\cdot \cos\frac{5x}{2}=0$$

   Отсюда:

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin\frac{x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos\frac{5x}{2}=0$$

   1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

   2) $$\sin\frac{x}{2}=0 \Rightarrow x=2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

   Это входит в решение $$x=\pi n$$.

   3) $$\cos\frac{5x}{2}=0 \Rightarrow \frac{5x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

   $$x=\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi n}{5},\; n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z;\quad x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\pi n,\; n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi n}{5},\; n\in\mathbb Z.$$