Упр.674 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sin^2 x-\cos x\cos 3x=\frac{1}{4}$$
2. $$\sin 3x=3\sin x$$
3. $$3\cos 2x-7\sin x-4$$
4. $$1+\cos x+\cos 2x=0$$
5. $$5\sin 2x+4\cos^3 x-8\cos x=0$$

1) $$\sin^2 x-\cos x\cos 3x=\frac14$$

$$\sin^2 x-\frac12(\cos(x+3x)+\cos(x-3x))-\frac14=0$$
$$2\sin^2 x-(\cos 4x+\cos 2x)-\frac12=0$$
$$2\sin^2 x-(\cos 2x+2\cos^2 2x-1)-\frac12=0$$
$$1-\cos 2x-\cos 2x-2\cos^2 2x+\frac12=0$$
$$4\cos^2 2x+4\cos 2x-3=0$$
Пусть $$y=\cos 2x$$, тогда
$$4y^2+4y-3=0.$$
$$D=4^2-4\cdot 4\cdot(-3)=64$$
$$y_1=\frac{-4-8}{8}=-\frac32,\qquad y_2=\frac{-4+8}{8}=\frac12.$$
Значение $$y_1=-\frac32$$ не подходит, так как $$|\cos 2x|\le 1$$.
Остаётся
$$\cos 2x=\frac12.$$
Тогда
$$2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,$$
$$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin 3x=3\sin x$$

$$\sin 3x+\sin x=4\sin x$$
$$2\sin 2x\cos x-4\sin x=0$$
$$4\sin x\cos^2 x-4\sin x=0$$
$$4\sin x(\cos^2 x-1)=0$$
$$4\sin x(-\sin^2 x)=0$$
$$\sin x=0.$$
Следовательно,
$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$3\cos 2x-7\sin x=4$$

$$3(\cos^2 x-\sin^2 x)-7\sin x-4=0$$
$$3(1-\sin^2 x-\sin^2 x)-7\sin x-4=0$$
$$6\sin^2 x+7\sin x+1=0.$$
Пусть $$y=\sin x$$. Тогда
$$6y^2+7y+1=0.$$
$$D=7^2-4\cdot 6\cdot 1=25$$
$$y_1=\frac{-7-5}{12}=-1,\qquad y_2=\frac{-7+5}{12}=-\frac16.$$
1) $$\sin x=-1$$, значит
$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) $$\sin x=-\frac16$$, значит
$$x=(-1)^n\arcsin\!\left(-\frac16\right)+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4) $$1+\cos x+\cos 2x=0$$

$$1+\cos x+2\cos^2 x-1=0$$
$$2\cos^2 x+\cos x=0$$
$$\cos x(2\cos x+1)=0.$$
Отсюда:
$$\cos x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
или
$$\cos x=-\frac12 \quad \Rightarrow \quad x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$
где $$n\in\mathbb Z$$.

5) $$5\sin 2x+4\cos^3 x-8\cos x=0$$

$$10\sin x\cos x+4\cos^3 x-8\cos x=0$$
$$2\cos x(5\sin x+2\cos^2 x-4)=0$$
$$2\cos x\bigl(5\sin x+2(1-\sin^2 x)-4\bigr)=0$$
$$\cos x(5\sin x-2\sin^2 x-2)=0.$$
Отсюда:
$$\cos x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
или
$$2\sin^2 x-5\sin x+2=0.$$
Пусть $$y=\sin x$$. Тогда
$$2y^2-5y+2=0,$$
$$D=25-16=9,$$
$$y_1=\frac{5-3}{4}=\frac12,\qquad y_2=\frac{5+3}{4}=2.$$
Значение $$y_2=2$$ не подходит. Поэтому
$$\sin x=\frac12 \quad \Rightarrow \quad x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$