Упр.674 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) sin 3x = 3 sin x;
3) 3 cos 2x — 7 sin x — 4;
4) 1 + cos x + cos 2x = 0;
5) 5 sin 2x + 4 cos3 x — 8 cos x = 0.

1. $$\sin^2 x-\cos x\cos 3x=\frac14$$

   Используем формулу $$\cos x\cos 3x=\frac12(\cos 4x+\cos 2x)$$:

   $$ \sin^2 x-\frac12(\cos 4x+\cos 2x)-\frac14=0 $$
   $$ 2\sin^2 x-(\cos 4x+\cos 2x)-\frac12=0 $$
   $$ 2\sin^2 x-\bigl(\cos 2x+2\cos^2 2x-1\bigr)-\frac12=0 $$
   $$ 2\sin^2 x-\cos 2x-2\cos^2 2x+\frac12=0 $$
   $$ 1-\cos 2x-\cos 2x-2\cos^2 2x+\frac12=0 $$
   $$ 4\cos^2 2x+4\cos 2x-3=0. $$

   Пусть $$y=\cos 2x$$. Тогда
   $$ 4y^2+4y-3=0. $$
   $$ D=4^2-4\cdot 4\cdot(-3)=64, $$
   $$ y_1=\frac{-4-8}{8}=-\frac32,\qquad y_2=\frac{-4+8}{8}=\frac12. $$
   Значение $$y_1=-\frac32$$ не подходит, так как $$\cos 2x\in[-1;1]$$.

   Тогда
   $$ \cos 2x=\frac12, $$
   $$ 2x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n, $$
   $$ x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

2. $$\sin 3x=3\sin x$$

   $$ \sin 3x+\sin x=4\sin x $$
   $$ 2\sin 2x\cos x-4\sin x=0 $$
   $$ 4\sin x\cos^2 x-4\sin x=0 $$
   $$ 4\sin x(\cos^2 x-1)=0 $$
   $$ 4\sin x(-\sin^2 x)=0. $$

   Отсюда
   $$ \sin x=0, $$
   значит
   $$ x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

3. $$3\cos 2x-7\sin x=4$$

   $$ 3(\cos^2 x-\sin^2 x)-7\sin x-4=0 $$
   $$ 3(1-\sin^2 x-\sin^2 x)-7\sin x-4=0 $$
   $$ 6\sin^2 x+7\sin x+1=0. $$

   Пусть $$y=\sin x$$. Тогда
   $$ 6y^2+7y+1=0, $$
   $$ D=7^2-4\cdot 6\cdot 1=25, $$
   $$ y_1=-1,\qquad y_2=-\frac16. $$

   1) $$\sin x=-1$$, значит
   $$ x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

   2) $$\sin x=-\frac16$$, значит
   $$ x=(-1)^n\arcsin\left(-\frac16\right)+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

4. $$1+\cos x+\cos 2x=0$$

   $$ 1+\cos x+2\cos^2 x-1=0 $$
   $$ \cos x(2\cos x+1)=0. $$

   Тогда
   $$ \cos x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z, $$
   или
   $$ \cos x=-\frac12 \quad \Rightarrow \quad x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

5. $$5\sin 2x+4\cos^3 x-8\cos x=0$$

   $$ 10\sin x\cos x+4\cos^3 x-8\cos x=0 $$
   $$ 2\cos x(5\sin x+2\cos^2 x-4)=0 $$
   $$ 2\cos x\bigl(5\sin x+2(1-\sin^2 x)-4\bigr)=0 $$
   $$ 2\cos x(5\sin x-2\sin^2 x-2)=0. $$

   Отсюда
   $$ \cos x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z, $$
   или
   $$ 2\sin^2 x-5\sin x+2=0. $$

   Пусть $$y=\sin x$$. Тогда
   $$ 2y^2-5y+2=0, $$
   $$ D=25-16=9, $$
   $$ y_1=\frac12,\qquad y_2=2. $$
   Значение $$y_2=2$$ не подходит.

   Тогда
   $$ \sin x=\frac12 \quad \Rightarrow \quad x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

1) $$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
2) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
3) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ x=(-1)^n\arcsin\left(-\frac16\right)+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
4) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
5) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.