Упр.673 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sin^2 x+\sin^2 2x=1$$
2. $$\sin^2 x+\cos^2 2x=1$$
3. $$\sin 4x=6\cos^2 2x-4$$
4. $$2\cos^2 3x+\sin 5x-1$$

1) $$\sin^2 x+\sin^2 2x=1$$

Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ то

$$\sin^2 x+4\sin^2 x\cos^2 x=1.$$

Заменим $$1-\sin^2 x$$ на $$\cos^2 x$$:

$$4\sin^2 x\cos^2 x=\cos^2 x.$$

Тогда

$$\cos^2 x(4\sin^2 x-1)=0.$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 4\sin^2 x-1=0.$$

1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

2) $$\sin^2 x=\frac14 \Rightarrow \sin x=\pm \frac12 \Rightarrow x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,$$

где $$n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin^2 x+\cos^2 2x=1$$

Так как $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x,$$ то

$$\sin^2 x+(\cos^2 x-\sin^2 x)^2=1.$$

После преобразований получаем:

$$4\cos^4 x-5\cos^2 x+1=0.$$

Положим $$y=\cos^2 x.$$ Тогда

$$4y^2-5y+1=0.$$

$$D=25-16=9,$$

$$y_1=\frac{5-3}{8}=\frac14,\qquad y_2=\frac{5+3}{8}=1.$$

1) $$\cos^2 x=1 \Rightarrow \cos x=\pm 1 \Rightarrow x=\pi n,$$

2) $$\cos^2 x=\frac14 \Rightarrow \cos x=\pm \frac12 \Rightarrow x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,$$

где $$n\in\mathbb Z.$$

3) $$\sin 4x=6\cos^2 2x-4$$

Используем формулу $$\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$$:

$$2\sin 2x\cos 2x=6\cos^2 2x-4.$$

Перенесём всё в одну сторону и разделим на $$\cos^2 2x$$:

$$2\tan 2x-2+4\tan^2 2x=0.$$

Пусть $$y=\tan 2x.$$ Тогда

$$4y^2+2y-2=0,$$

$$2y^2+y-1=0.$$

$$D=1+8=9,$$

$$y_1=-1,\qquad y_2=\frac12.$$

1) $$\tan 2x=-1 \Rightarrow 2x=-\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},$$

2) $$\tan 2x=\frac12 \Rightarrow 2x=\arctan\frac12+\pi n \Rightarrow x=\frac12\arctan\frac12+\frac{\pi n}{2},$$

где $$n\in\mathbb Z.$$

4) $$2\cos^2 3x+\sin 5x=1$$

Перепишем уравнение:

$$2\cos^2 3x+\sin 5x-1=0.$$

Так как $$2\cos^2 3x-1=\cos 6x,$$ а $$\sin 5x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-5x\right),$$ то

$$\cos 6x+\cos\left(\frac{\pi}{2}-5x\right)=0.$$

По формуле суммы косинусов:

$$2\cos\left(\frac{6x+\frac{\pi}{2}-5x}{2}\right)\cos\left(\frac{6x-\left(\frac{\pi}{2}-5x\right)}{2}\right)=0,$$

то есть

$$2\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{11x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0.$$

Следовательно,

$$\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(\frac{11x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0.$$

1) $$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

2) $$\frac{11x}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{3\pi}{22}+\frac{2\pi n}{11},$$

где $$n\in\mathbb Z.$$

Ответ: 1) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \pm\frac{\pi}{6}+\pi n;\quad 2) x=\pi n,\ \pm\frac{\pi}{3}+\pi n;\quad 3) x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ \frac12\arctan\frac12+\frac{\pi n}{2};\quad 4) x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \frac{3\pi}{22}+\frac{2\pi n}{11},\ n\in\mathbb Z.$$