Упр.672 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) sin3 x cos x + cos3 x sin x =1/4.

1) $$\cos^3 x\sin x-\sin^3 x\cos x=\frac14$$

Вынесем общий множитель:

$$\sin x\cos x(\cos^2 x-\sin^2 x)=\frac14$$

Используем формулы $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:

$$\frac12\sin 2x\cos 2x=\frac14$$

$$\frac14\sin 4x=\frac14$$

$$\sin 4x=1$$

Тогда

$$4x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$

2) $$\sin^3 x\cos x+\cos^3 x\sin x=\frac14$$

Вынесем общий множитель:

$$\sin x\cos x(\sin^2 x+\cos^2 x)=\frac14$$

Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$, получаем:

$$\sin x\cos x=\frac14$$

$$\frac12\sin 2x=\frac14$$

$$\sin 2x=\frac12$$

Отсюда

$$2x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$

2) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$